L'infini encore ? Ça n'aura donc pas de fin ! J'abuse de votre infinie patience ?
Eh bien oui ! mais un peu de philosophie, ça vous dit ?

Chez les anciens Grecs⁽¹⁾, on se doute qu'il existe de petites choses, les grains de blé, les grains de sable… mais on imagine une limite : l'atome, une chose qu'on ne peut diviser⁽²⁾. L'infiniment petit est difficile à concevoir…
Zénon propose le paradoxe suivant : Achille (malgré son talon) court pour rattraper… la tortue. Aristote, dans sa Physique, nous résume la situation :

Le plus lent à la course ne sera pas rattrapé par le plus rapide : car celui qui poursuit devra toujours commencer par atteindre le point d'où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance.

Imaginons une route bien droite et un poteau d'arrivée, la tortue est partie avant pour tenir compte de ses faibles performances. Achille démarre quand la tortue est à mi-chemin de la distance entre lui et le poteau d'arrivée : quand il arrive où se trouvait la tortue, à mi-chemin donc, celle-ci l'a quitté et a effectué la moitié de cette distance⁽³⁾. Chaque fois qu'Achille rejoint la position qu'avait la tortue, celle-ci a progressé de la distance moitié.
Achille parcourt donc \(\frac12 + \frac14 + \frac18\), pendant que la tortue persévérante – La Fontaine vous l'a rappelé ! – parcourt \(\frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}\) et ainsi de suite… Achille rattrapera-t-il la tortue ?

Cette course comporte une infinité d'étapes de plus en plus courtes. Est-ce possible que la durée totale soit infinie ?
Bizarre ! En ajoutant une infinité de nombres qui deviennent infiniment petits, on obtient un nombre tout simple⁽⁴⁾ :

\(\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} + \frac{1}{512} + \frac{1}{1024} +\ldots = 1\)

La notion de continuité est difficile à aborder quand on imagine la matière constituée de grains insécables, les atomes, mais dans les Éléments d'Euclide, un axiome dit d'Archimède et attribué à Eudoxe exprime qu'une « petite » longueur peut servir à mesurer⁽⁵⁾ une « grande »⁽⁶⁾.

Blaise Pascal balance entre deux infinis :

Car enfin qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.

Nos connaissances se sont étendues vers des lointaines galaxies à des années-lumières⁽⁷⁾, comme aux plus infimes particules de la vie et de la matière. Les télescopes scrutent le ciel toujours plus loin… tandis que les microscopes observent toujours plus finement cellules, atomes, noyaux…

Pour les mathématiques, John Wallis a inventé le signe \(\infty\) et de nombreux mathématiciens comme Newton, Leibniz, Laplace, Lagrange, Riemann, Lebesgue, Fourier, Cauchy, Weierstrass⁽⁸⁾… ont éclairci progressivement la notion de limite et de calcul infinitésimal et permis le développement de cette branche des mathématiques : l'analyse.

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1. ⁽¹⁾ ↑ Ils s'invitent à toutes les sauces bien sûr ! Non pas qu'ils aient été les seuls ou les premiers, mais que voulez-vous, ce sont les premiers à nous avoir transmis une grande part de leur culture à nous, Occidentaux contemporains.
2. ⁽²⁾ ↑ Littéralement du grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser », on retrouve le préfixe a privatif comme dans amnésique et la racine tome fréquente en chirurgie comme dans lobotomie.
3. ⁽³⁾ ↑ À mon humble avis, la tortue doit subir un contrôle anti-dopage… à moins qu'Achille ait vraiment abusé de substances illicites pour un effet inverse.
4. ⁽⁴⁾ ↑ Dommage pour Aristote ! Achille va deux fois plus vite que la tortue et ils arrivent ensemble au poteau d'arrivée.
5. ⁽⁵⁾ ↑ Des grandeurs qui ne peuvent trouver une mesure commune sont incommensurables.
6. ⁽⁶⁾ ↑ Sous une forme un peu différente, l'axiome dit d'Archimède proposé par Hilbert est le suivant : Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande.
7. ⁽⁷⁾ ↑ Il s'agit bien de distances : une année-lumière est la distance que parcourt la lumière en une année, à la vitesse de 300 000 km/s. À titre de comparaison, la lumière du Soleil nous parvient en environ 8 minutes.
8. ⁽⁸⁾ ↑ J'en oublie, ils ont si nombreux à défricher cette question : qu'obtient-on d'une infinité de grandeurs infinitésimales ?