Dans le film Star Wars, l'Étoile Noire tire son rayon destructeur sur la planète Alderaan. Mais quelle énergie faut-il pour détruire une planète(1) et la réduire à l'état de poussière cosmique ?

Une méthode naïve serait de calculer l'énergie requise pour disperser l'intégralité de la planète à une vitesse suffisante pour dépasser l'attraction gravitationnelle de la planète (vitesse de libération). Nous allons donc nous servir de la formule donnant l'énergie potentielle de gravitation :

U = - \frac{GMm}{r}

Où G est la constante gravitationnelle, M la masse de la planète, m la masse d'un objet à une distance r du centre cette planète.
On connaît la valeur de la constante gravitationnelle, 6.67 × 1024 N.m2.kg-2. Il se trouve que je connais aussi la masse d'Alderaan (6.16 × 1024kg) et son rayon (5.61 × 106m). Ne me demandez pas comment je suis entré en possession de ces informations, nous dirons juste que j'ai des relations au sein de l'Alliance Rebelle.
Pour calculer la vélocité nécessaire à un objet pour s'échapper du champ gravitationnel de la planète, nous nous appuierons sur la conservation de l'énergie mécanique déjà abordée sur ce site. Nous avons donc K1 + U1 = K2 + U2, avec K1 et U1 correspondant respectivement aux énergies cinétique et potentielle initiales. K2 et U2 sont les mêmes énergies à un temps ultérieur. En théorie, et pour minimiser la consommation d'énergie, nous voudrions que notre objet atteigne l'infini en n'ayant plus aucune vitesse cinétique, ce qui permettrait de poser K2 = U2 = 0, simplifiant notre formule en K1+ U1 = 0. En utilisant la formule classique de l'énergie cinétique, nous avons K_1 = \frac12mv_1^2, avec v1 la vitesse initiale. Il ne reste plus qu'à injecter nos valeurs numériques pour calculer la vitesse d'échappement : v1 = 1.21 × 104m.s-1. Nous y sommes presque : il ne reste plus qu'à utiliser la même formule de l'énergie cinétique avec la vitesse de libération d'Alderaan et sa masse totale pour obtenir l'énergie nécessaire à sa destruction : E_{totale} = \frac12 Mv^2 = 4.51 \times 10^{32}\,J.

Cette méthode est certes simple, mais elle ne prend pas en compte le fait qu'Alderaan explose, et que sa masse change donc continuellement avec l'expulsion de débris planétaires. « Change continuellement » ? Effectivement, il va falloir faire un peu d'analyse. On est reparti ! Posons qu'Alderaan est composée d'une infinité de sphères concentriques, comme un oignon. Il suffit maintenant d'imaginer dénuder ces couches une à une…
Supposons que chaque couche ait une largeur infinitésimale dr. La surface d'une telle sphère est simplement 4π r2 et son volume \frac43 \pi r^3, ce qui permet de déterminer la masse m d'une couche, ainsi que la masse M du reste de la planète contenue à l'intérieur de cette couche : m = 4π r2 ρ dr, M = \frac43 \pi r^3 \rho avec ρ la densité moyenne d'Alderaan. On peut maintenant calculer la totalité de l'énergie potentielle, toujours en injectant nos valeurs dans la formule de l'énergie gravitationnelle et en intégrant de 0 à R (le rayon initial de la planète).

U = \int_0^R \frac{G(\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)(4\pi r^2 \rho)}{r}dr

U = \frac{16}{15}G\pi^2 R^5 \rho^2

Il ne reste plus qu'à calculer la densité, qui est simplement la masse divisée par le volume : \rho = \frac{M}{\frac43 \pi R^3} ; en substituant dans la formule précédente et en simplifiant, nous obtenons alors U =\frac{3GM^2}{5R}, soit environ 2.71 × 1032 J. Ce qui fait beaucoup d'énergie(2), je vous laisse convertir en unité de Force jedi.

  1. (1) ↑ Afin de ne pas froisser un public délicat, les calculs se feront pour Alderaan et non pour la Terre, personne n'aimant imaginer la destruction de son lieu de vie.
  2. (2) ↑ C'est environ \frac{1}{45} de l'énergie dégagée par le soleil en un an.