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Loin de parler d'un quelconque barycentre féminin, il est ici question de la deuxième grande constante fondamentale en physique : \(G\), la constante de gravitation universelle, également nommée constante gravitationnelle ou constante de Newton.

Mesurée par Henry Cavendish, physicien et chimiste britannique⁽¹⁾, héritier d'une grande fortune léguée par son oncle s'étant enrichi en Inde⁽²⁾, \(G\) est omniprésent dans les lois de la physique et de l'interaction entre des corps spatiaux. Par exemple, une célèbre loi permet de calculer l'interaction entre deux astres sphériques :

\(F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2}\)

Où \(m_A\) est la masse du premier objet, \(m_B\) la masse du second objet, \(d\) la distance qui sépare leurs centres et \(G\) la constante de gravitation.

Mais combien vaut \(G\) ?

\(G = 6,67 \times 10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}\)

On ne retiendra pas cette unité monstrueuse, contentons-nous de retenir sa valeur. Cependant, on peut en déduire plusieurs choses : que \(m_A\) et \(m_B\) doivent s'exprimer en kilogrammes et que \(d\) doit s'exprimer en mètres.

Quelle est l'unité de F, alors ?
Il s'agit d'une force d'interaction, F s'exprime donc en newtons (N)⁽³⁾.

Il est temps de passer à un petit exercice d'application.

Et si nous calculions la force d'interaction entre la Terre et le Soleil ? Voici quelques chiffres :

\(m_{Terre} = m_{A} = 5,97 \times 10^{24} kg\)

\(m_{Soleil} = m_B = 1,99 \times 10^{30} kg\)

Quant à la distance Terre-Soleil, il s'agit du demi-grand axe Terre-Soleil.

On connaît cette valeur :

\(d = 149 597 888 km = 1,5 \times 10^{8} km\)

Calculons donc !

\(F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2}\)

\(F = 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{5,97 \times 10^{24} \times 1,99 \times 10^{30}}{(1,5 \times 10^11)^2} = 3,5 \times 10^{22} N\)

C'est beaucoup, n'est-ce pas ?

Nous allons utiliser la troisième loi de Kepler pour déduire une nouvelle expression de \(\pi\) !
Avant de l'utiliser, je tiens à préciser que \(m_A\) est négligeable, \(m_A << m_B\), et que donc on peut l'éliminer de la formule :

\( T^2 = \frac{4 \times \pi^2}{G \times m_B} \times d^3 \)

\(T\) est la période de révolution du deuxième astre, \(A\), celui qui tourne autour de \(B\). \(A\) étant la Terre, on en déduit que \(T = 365,25 j\) soit \(T = 3,16 \times 10^7 s\)⁽⁴⁾.

À partir de cette loi, déduisons-en \(\pi\) :

\( \pi^2 = \frac{T^2}{d^3} \times G \times \frac{m_B}{4}\)

\( \pi = \sqrt{\frac{T^2}{d^3} \times G \times \frac{m_B}{4}}\)

\( \pi = \frac{T}{\sqrt{d^3}} \times \frac{\sqrt{G \times m_B}}{2} \)

N'est-ce pas merveilleux ? \(\pi\) ! Cette magnifique loi de physique a besoin d'un petit nom. Nommons-la loi de Neamar.

Mais la formule n'est pas tout à fait prête ! L'intérêt est de pouvoir l'utiliser avec \(T\) et \(d\), qui sont deux paramètres dépendants d'un astre en rotation autour du Soleil, tandis que \(G\) et \(m_B\) sont des constantes⁽⁵⁾, rappelez-vous toutefois que l'on a négligé \(m_A\).

Exprimons donc la loi de Neamar comme le résultat d'une constante et de deux paramètres qui varient :

\(\pi = \frac{T}{\sqrt{d^3}} \times {\frac{\sqrt{G \times m_B}}{2}}\)

Pour se débarrasser de \(\frac{\sqrt{G \times m_B}}{2}\), nous allons la définir sous un autre nom : constante de Neamar, \(N\) :

\(N = 5,76104 \times 10^9 m^{\frac{3}{2}}.s^{-1}\)

On en conclut :

\(\pi = T \times d^{\frac{-3}{2}} \times N\)

Ce qui nous permet donc de définir nos loi et constante de Neamar :

Tout astre du système solaire, de masse \(m_A\) négligeable, en rotation autour du Soleil, possède une période de révolution \(T\) et un demi-grand axe de l'ellipse formée par son orbite \(d\), de telle sorte que :

\(T = \frac{\pi}{N \times d^{\frac{-3}{2}}}\)

Où \(N\) est la constante de Neamar :

\(N = 5,76104 \times 10^9 m^{\frac{3}{2}}.s^{-1}\)

Prenons, pour terminer, deux astres \(A\) et \(B\), qui gravitent autour du Soleil, selon la loi de Neamar, on peut donc dire que :

\(\pi = T_A \times d_A^{\frac{-3}{2}} \times N\)

\(\pi = T_B \times d_B^{\frac{-3}{2}} \times N\)

Cela revient donc à :

\(T_A \times d_A^{\frac{-3}{2}} \times N = T_B \times d_B^{\frac{-3}{2}} \times N\)

\(T_A \times d_A^{\frac{-3}{2}} = T_B \times d_B^{\frac{-3}{2}}\)

On obtient alors le rapport suivant, qui est en réalité la définition même de la troisième loi de Kepler !

\(\frac{T_A}{T_B} = (\frac{d_B}{d_A})^{\frac{-3}{2}}\)

Vous étiez venus pour en savoir plus sur G, et vous voilà avec la loi de Neamar et sa constante, la troisième loi de Kepler, et un bon mal de tête !

Je souhaitais faire une conclusion fracassante, mais…

Si ce que tu as à dire n'est pas plus beau que le silence, tais-toi.

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1. ⁽¹⁾ ↑ Il a découvert l'hydrogène en 1776 et arrive à synthétiser de l'eau à partir de dioxygène et de dihydrogène huit ans plus tard.
2. ⁽²⁾ ↑ Drôle de réminiscence, c'est exactement ce qu'il arrive à Raphaël dans la Peau de chagrin de Balzac. Sauf que Cavendish n'en est pas mort.
3. ⁽³⁾ ↑

   Je vous propose de calculer quelque chose d'amusant. Posons \(m_A = m_B = d = G = 1\) dans leurs unités respectives pour réaliser une analyse dimensionnelle. Voici ce que l'on obtient :

   \(F = 1 m^{3}.kg^{-1}.s^{-2} \times \frac{1 kg \times 1 kg}{1 m \times 1 m}\)

   \(F = 1 m^{3}.kg^{-1}.s^{-2} \times \frac{1 kg^2}{1 m^2}\)

   \(1 N = 1 m.kg.s^{-2}\)

   Eh oui ! Le newton, la force, s'exprime comme le produit d'une distance et d'une masse sur deux dimensions de temps !

4. ⁽⁴⁾ ↑

   \(T = 365,25 \times 24 \times 60 \times 60 = 3,16 \times 10^7 s\)

5. ⁽⁵⁾ ↑ Il paraît que la masse du Soleil pourrait varier d'ici quelques milliards d'années. Mais nous avons le temps d'ici là.

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