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Maintenant que nous avons constaté l'absurdité de \(\pi\) défini comme valant \(3.14\ldots\), voyons les changements apportés à plusieurs champs des mathématiques, en introduisant \(\Pi\) (pi grec majuscule) pour noter le rapport entre la circonférence d'un cercle et son rayon (et non diamètre, qui correspond alors à \(\pi\)). Autrement dit, \(\Pi = 2\pi\).

Énumérons donc la litanie des théorèmes et formules importantes dans lequel le facteur 2 s'est glissé de façon omniprésente. Des intégrales de Cauchy aux formules des séries de Fourier, en passant par l'approximation de Stirling et la distribution normale, \(\Pi\) remplace avantageusement son petit frère \(\pi\). Petit tour d'horizon…

Simplifications de \(\pi\) à \(\Pi\)
Formule \(\pi\) Formule \(\Pi\) Note
\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)~\) \(\sin(x + \Pi) = \sin(x)~\) Période du sinus
\(e^{i\pi} = -1~\) \(e^{i\Pi}=1~\) Identité d'Euler
\(n! \sim \sqrt{2\pi n} \times n^ne^{-n}\) \(n! \sim \sqrt{\Pi n} \times n^ne^{-n}\) Formule de Stirling
\(A = \pi r^2\) \(A = \frac12 \Pi r^2\) Aire d'un cercle
\(\hbar=\frac{h}{2\pi}\) \(\hbar=\frac{h}{\Pi}\) Constante de Planck réduite
\(T = \frac{2\pi}{\omega}\) \(T = \frac{\Pi}{\omega}\) Vitesse angulaire (sur une trajectoire circulaire)
\(c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)e^{inx}dx\) \(c_n = \frac{1}{\Pi} \int_0^{\Pi} f(x)e^{inx}dx\) Cœfficients de Fourier complexes d'une fonction de période \(2\pi\)
\(f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-a}dz\) \(f(a) = \frac{1}{\Pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-a}dz\) Formule intégrale de Cauchy
\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac12 x^2}dx = 1\) \(\frac{1}{\sqrt{\Pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac12 x^2}dx = 1\) Distribution gaussienne
\(e^{\frac{2j\pi i}{N}}, j=0,\ldots,n-1\) \(e^{\frac{j\Pi i}{N}}, j=0,\ldots,n-1\) Racines \(n-ièmes\) de l'unité

Vous me direz que la somme des angles intérieurs d'un triangle est \(\pi\). Mais la somme des angles extérieurs de n'importe quel polygone est… \(2\pi\) ! Et de la somme extérieure, on retrouve facilement la somme intérieure.
Vous me direz aussi que l'aire d'un cercle est plus facile à retenir sous la forme \(A = \pi r^2~\). Mais \(A = \frac12 \Pi r^2\) porte le symbole familier \(\frac12\) que l'on retrouve dans toutes les équations quadratiques(1) (par exemple l'énergie cinétique \(\frac12 mv^2\)). Sans compter que cela prépare le terrain pour la relation entre l'aire d'un cercle et l'intégrale de sa circonférence (qui se fait, oh surprise, par rapport au rayon).
Une autre façon de présenter la chose est de considérer le rayon comme bien plus intuitif que la diamètre : après tout, le cercle unité est le cercle de rayon 1.

Mettons-nous d'accord cependant : rien de tout cela n'affecte les mathématiques, parce que nous pouvons définir nos symboles comme nous le voulons. Mais l'analogie avec \(e\) mentionnée dans l'article précédent, ou l'idée de redéfinir l'unité complexe \(i\) pour signifier \(\frac{\sqrt{-1}}{2}\) montre la vraie folie de \(\pi\). Aucune de ces modifications ne changerait les mathématiques, mais personne ne niera leur absurdité.

En fait, le plus triste dans cette histoire, c'est que l'un des messages que nous avons envoyés à une hypothétique race extraterrestre comme preuve de notre intelligence est \(3.14\ldots\). Que ferait la forme de vie qui lirait un tel message ? Heureusement, la valeur est transmise en binaire (mais ce n'est que les premiers chiffres, ce qui écarte les dangers cités ici), et nous pouvons espérer qu'ils ne verront pas ce qui n'est après tout qu'un décalage de bit !


  1. (1) Les équations se présentant sous la forme \(ax^2 + bx + c\) sont appelées équations quadratiques ou équations du second degré.