Les carrés magiques (2) : Des carrés vraiment magiques…
Le simple carré magique 3x3 ne vous suffit-il pas ?
Avant de lire cet article, assurez-vous d'avoir lu l'épisode précédent !
Nous avons vu précédemment ce qu'était un carré magique. Vous vous êtes probablement dit à ce moment-là : « Mouais. Bof. C'est sympa, ouais, mais bon… C'est juste des nombres dans une grille, je vois pas grand chose de magique là-dedans… » Eh bien, messieurs les indifférents, je vous ai entendus, et je vais ici combler vos attentes. Car si, effectivement, le premier (et unique) exemple présenté précédemment n'avait pas grand chose d'impressionnant, ceux que nous allons découvrir ici sont issus d'un tout autre moule.
Voici tout d'abord un carré \(4 \times 4\), qui a ceci de particulier que la somme des quatre nombres en son centre est aussi égale à la constante magique, qui est ici 34 :
| – 1 – | – 16 – | – 11 – | – 6 – |
| – 13 – | – 4 – | – 7 – | – 10 – |
| – 8 – | – 9 – | – 14 – | – 3 – |
| – 12 – | – 5 – | – 2 – | – 15 – |
Toujours indifférent ? Tant mieux, on continue. Voici à présent un carré \(5 \times 5\) de constante 65, qui contient un autre carré \(3 \times 3\) de constante 39 :
| – 23 – | – 8 – | – 5 – | – 4 – | – 25 – |
| – 20 – | – 14 – | – 15 – | – 10 – | – 6 – |
| – 19 – | – 9 – | – 13 – | – 17 – | – 7 – |
| – 2 – | – 16 – | – 11 – | – 12 – | – 24 – |
| – 1 – | – 18 – | – 21 – | – 22 – | – 3 – |
Bon, maintenant, fini de rire, on sort l'artillerie lourde : voici le carré du maître, un carré \(5 \times 5\) de constante magique 65 :
| – 1 – | – 20 – | – 9 – | – 23 – | – 12 – |
| – 24 – | – 13 – | – 2 – | – 16 – | – 10 – |
| – 17 – | – 6 – | – 25 – | – 14 – | – 3 – |
| – 15 – | – 14 – | – 18 – | – 7 – | – 21 – |
| – 8- – | – 22 – | – 11 – | – 5 – | – 19 – |
Ce carré présente plusieurs particularités intéressantes. Tout d'abord, si on le coupe par une ligne horizontale ou verticale et que l'on permute les deux parties ainsi obtenues, le carré résultant de cette opération sera lui aussi un carré du maître(1). De plus, si l'on considère n'importe quelle croix du carré, comme par exemple celle représentée en bleu sur l'exemple ci-dessus, la somme des nombres de la croix sera égale à la constante magique, c'est-à-dire 65.
Et enfin, l'apogée de la perfection : le carré de Dürer. Il est ainsi nommé parce qu'il a été construit par le peintre, graveur et mathématicien allemand Albrecht Dürer, qui l'a intégré à l'une de ses gravures, Melancholia. C'est un carré \(4 \times 4\), dont la constante, 34, peut être trouvée en additionnant les nombres formant les coins de douze quadrilatères particuliers, outre la somme des lignes, des colonnes et des diagonales.
| – 16 – | – 3 – | – 2 – | – 13 – |
| — 5 – | – 10 – | – 11 – | – 8 – |
| – 9 – | – 6 – | – 7 – | – 12 – |
| – 4 – | – 15 – | – 14 – | – 1 – |
Essayez tout d'abord d'additionner les quatre coins : vous obtenez 34. Ensuite, essayez avec les quatre nombres du coin supérieur gauche en bleu dans l'exemple : vous obtenez à nouveau 34. Essayez avec les autres coins, ça marche aussi. Prenez maintenant les quatre nombres du centre : à nouveau, 34. Prenons à présent des schémas plus complexes :
| – 16 – | – 3 – | – 2 – | – 13 – |
| – 5 – | – 10 – | – 11 – | – 8 – |
| – 9 – | – 6 – | – 7 – | – 12 – |
| – 4 – | – 15 – | – 14 – | – 1 – |
En additionnant les nombres bleus, vous obtenez 34. Idem pour les nombres verts. On continue ?
| – 16 – | – 3 – | – 2 – | – 13 – |
| – 5 – | – 10 – | – 11 – | – 8 – |
| – 9 – | – 6 – | – 7 – | – 12 – |
| – 4 – | – 15 – | – 14 – | – 1 – |
Encore et toujours 34. On enchaîne :
| — 16 – | – 3 – | – 2 – | – 13 – |
| — 5 – | – 10 – | – 11 – | – 8 – |
| — 9 – | – 6 – | – 7 – | – 12 – |
| — 4 – | – 15 – | – 14 – | – 1 – |
Sans surprise, 34 (ce schéma fonctionne aussi dans l'autre sens).
Et, enfin, le cerise sur le gâteau, la touche finale du maître : vous pouvez lire, au milieu de la dernière ligne, le nombre 1514, qui est la date à laquelle a été réalisée la gravure Melancholia, et donc, avec elle, ce carré magique. Applaudissements pour le maître, s'il vous plait(2) !
Vous connaissez maintenant les carrés magiques les plus surprenants jamais construits. Nous verrons plus tard, dans un prochain article, s'il existe une méthode pour construire un carré magique, et, si oui, quelle est cette méthode.