Un miracle ? ce nombre \(\pi\) ? Vous voulez rire ! pareil zigoto ?
Mais si ! mais si ! Ça aurait pu être encore pire…

Le nombre \(\pi\) est un nombre bien connu des enfants dès la fin de l'école primaire…
Bien que parfois perçu à tort par les plus jeunes comme un simple décimal – \(3,14\) – les plus curieux retiennent facilement que les « premières » décimales – il y en avait bien plusieurs centaines quand même ! – furent inscrites sur les murs d'une salle du Palais de la Découverte à Paris et qu'elles étaient fausses à partir d'un moment… jusqu'à ce qu'elles aient été enfin corrigées⁽¹⁾.

Il laisse souvent à l'adulte un souvenir embrouillé des mathématiques de son enfance scolaire et redevient illico \(3,14\) si par hasard il se fait nécessaire dans un bricolage domestique.
Peu nombreux ceux qui se résolvent à compter \(\pi \approx3\) ce qui est pourtant bien suffisant dans les estimations courantes, peur sans doute de désacraliser ce nombre trop mystérieux !

Il est parfois difficile de faire comprendre aux enfants que le nombre \(\pi\) n'a pas été choisi maladroitement par des gens ignorant la simplicité d'un bel entier naturel – comme pour le carré par exemple⁽²⁾ ! – ou cyniquement pour enquiquiner des générations d'écoliers⁽³⁾… non ! ce zigoto s'est imposé comme cœfficient de proportionnalité entre mesures de périmètres de cercles et mesures de leurs rayons respectifs et la nature ne nous a pas fait de cadeau semble-t-il !

La célébrité du nombre \(\pi\) fait oublier pourtant une chance miraculeuse :
il n'y a qu'un nombre \(\pi\)⁽⁴⁾ !
Vous connaissez le diamètre d'un cercle (ou son rayon), vous voulez calculer son périmètre : voilà \(\pi\) à votre service⁽⁵⁾.
Vous voulez calculer l'aire du disque :
voilà encore \(\pi\), le même \(\pi\)
Et vous ne vous étonnez même pas de votre chance qu'un autre zigoto ne vous soit pas imposé !
Vous voulez calculer le volume d'une boule ou l'aire de la sphère ?
Encore le même fidèle \(\pi\), toujours lui !
Vous pourriez avoir un nouveau zigoto différent pour chaque nouvelle formule…
Dès qu'il est question de cercle ou d'ellipse (un cercle aplati ou un cercle en perspective), de sphère, de boule (même d'ellipsoïde – le ballon de rugby en gros), voilà \(\pi\) toujours prêt et devenu le plus familier des zigotos.

Essayons de comprendre pourquoi le \(\pi\) original⁽⁶⁾ intervient aussi dans le calcul de l'aire du disque…
Je vous propose deux points de vue, en espérant que deux explications d'une même affirmation ne vous lasseront pas.

Au moment des fêtes, on utilise parfois des serpentins colorés…
Pensant qu'un dessin vaut mieux qu'un long discours, qu'une photo vaut mieux qu'un dessin malhabile, j'ai cherché un beau serpentin⁽⁷⁾, mais hélas, les serpentins actuels sont au rabais : il me fallait un enroulement bien serré depuis le centre et non pas quelques spires du pourtour !
Puisant dans les souvenirs d'enfance, voilà le rouleau de réglisse !
Donc imaginez un serpentin de réglisse ou de papier fin (c'est mieux, mais pas très comestible malgré tout…).
Incisez un rayon (c'est plus facile avec le rouleau de réglisse) et redressez tous les morceaux circulaires en segments bien droits⁽⁸⁾.

Vous obtenez un empilement qui forme non plus un disque, mais un triangle⁽⁹⁾ qu'on peut même rendre rectangle si on veut.
L'aire du disque est égale à l'aire de ce triangle rectangle. À ce stade, vous n'avez pas la permission de manger le rouleau de réglisse.
La base du triangle est égale au périmètre du cercle extérieur et la hauteur du triangle est égale au rayon…
On peut donc calculer l'aire du disque facilement : le périmètre se calcule à l'aide de \(\pi\), le voilà qui s'invite donc très naturellement dans le calcul de l'aire⁽¹⁰⁾ !

Pour la deuxième explication du même miracle ! prenons une belle galette bien ronde, repérez le centre et coupez beaucoup, beaucoup de petites parts : inutile qu'elles soient rigoureusement égales, l'essentiel est de bien partir du centre à chaque nouvelle découpe. Le périmètre du cercle est ainsi fragmenté en de nombreux petits arcs de cercle… qu'on peut assimiler à des segments.

Vous voilà donc avec tous ces triangles qui ont la même hauteur, le rayon de votre galette, pour calculer l'aire du disque, pardon de la galette, on doit ajouter les aires de tous ces triangles.
Selon la formule habituelle, l'aire d'un triangle est la demi-somme du produit d'une base par la hauteur associée. Cette hauteur est la même pour tous les petits triangles, donc on peut effectuer d'abord la somme de toutes les bases avant de multiplier par la hauteur commune R et de diviser par 2.

Dans chacune de nos explications, l'aire du disque est donc :

\(\frac12 \times 2\pi R \times R = \pi \times R^2\)

Quant à la sphère, la boule, l'ellipse et l'ellipsoïde, à moins de vouloir continuer à débiter des tranches… je vous accorde de manger le rouleau de réglisse et de passer à des occupations plus sereines !

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1. ⁽¹⁾ ↑ Pour une fois qu'on parle des erreurs des maîtres !
2. ⁽²⁾ ↑ Il suffit de multiplier par 4 le côté pour obtenir le périmètre du carré et son aire est simplement le carré du côté.
3. ⁽³⁾ ↑ Les exercices des manuels ne le sont-ils pas parfois ?
4. ⁽⁴⁾ ↑ Il existe bien d'autres nombres aussi encombrants que lui, et même une infinité de ces nombres, pires qu'irrationnels, transcendants ! Mais ils sont assez discrets dans notre vie quotidienne heureusement. Le nombre \(\pi\) est le plus célèbre des zigotos familiers, on pourrait presque dire le seul domestiqué.
5. ⁽⁵⁾ ↑

   Pour rappel, le périmètre d'un cercle est la célèbre formule \(2 \times \pi \times r\).
   Vous savez bien : deux pi-erres !

6. ⁽⁶⁾ ↑ Défini comme le quotient du périmètre d'un cercle quelconque par son diamètre.
7. ⁽⁷⁾ ↑ Objet d'étude en cours de dessin dans mes jeunes années : dessin de l'ellipse, étude des valeurs et de l'ombre portée…
8. ⁽⁸⁾ ↑ C'est la principale difficulté !
9. ⁽⁹⁾ ↑ Les spires successives ont des longueurs proportionnelles à leurs rayons respectifs, d'où l'alignement des extrémités des segments une fois les spires redressées.
10. ⁽¹⁰⁾ ↑

    Pour les sceptiques, l'aire d'un triangle (rectangle ou pas) est égale à la moitié de l'aire du rectangle dont la longueur est la base du triangle, ici le périmètre du cercle, et la largeur la hauteur du triangle, ici le rayon du cercle : \(\frac12 \times 2\pi R \times R = \pi \times R^2\).
    Vous vous le rappelez bien : pi erres deux !