Dans le film Star Wars, l'Étoile Noire tire son rayon destructeur sur la planète Alderaan. Mais quelle énergie faut-il pour détruire une planète⁽¹⁾ et la réduire à l'état de poussière cosmique ?

Une méthode naïve serait de calculer l'énergie requise pour disperser l'intégralité de la planète à une vitesse suffisante pour dépasser l'attraction gravitationnelle de la planète (vitesse de libération). Nous allons donc nous servir de la formule donnant l'énergie potentielle de gravitation :

$U = - \frac{GMm}{r}$

Où $G$ est la constante gravitationnelle, $M$ la masse de la planète, $m$ la masse d'un objet à une distance $r$ du centre cette planète.
On connaît la valeur de la constante gravitationnelle, $6.67 \times 10^{24} N.m^2.kg^{-2}$. Il se trouve que je connais aussi la masse d'Alderaan ($6.16 \times 10^{24}kg$) et son rayon ($5.61 \times 10^6m$). Ne me demandez pas comment je suis entré en possession de ces informations, nous dirons juste que j'ai des relations au sein de l'Alliance Rebelle.
Pour calculer la vélocité nécessaire à un objet pour s'échapper du champ gravitationnel de la planète, nous nous appuierons sur la conservation de l'énergie mécanique déjà abordée sur ce site. Nous avons donc $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$, avec $K_1$ et $U_1$ correspondant respectivement aux énergies cinétique et potentielle initiales. $K_2$ et $U_2$ sont les mêmes énergies à un temps ultérieur. En théorie, et pour minimiser la consommation d'énergie, nous voudrions que notre objet atteigne l'infini en n'ayant plus aucune vitesse cinétique, ce qui permettrait de poser $K_2 = U_2 = 0$, simplifiant notre formule en $K_1+ U_1 = 0$. En utilisant la formule classique de l'énergie cinétique, nous avons $K_1 = \frac12mv_1^2$, avec $v_1$ la vitesse initiale. Il ne reste plus qu'à injecter nos valeurs numériques pour calculer la vitesse d'échappement : $v_1 = 1.21 \times 10^4m.s^{-1}$. Nous y sommes presque : il ne reste plus qu'à utiliser la même formule de l'énergie cinétique avec la vitesse de libération d'Alderaan et sa masse totale pour obtenir l'énergie nécessaire à sa destruction : $E_{totale} = \frac12 Mv^2 = 4.51 \times 10^{32}\,J$.

Cette méthode est certes simple, mais elle ne prend pas en compte le fait qu'Alderaan explose, et que sa masse change donc continuellement avec l'expulsion de débris planétaires. « Change continuellement » ? Effectivement, il va falloir faire un peu d'analyse. On est reparti ! Posons qu'Alderaan est composée d'une infinité de sphères concentriques, comme un oignon. Il suffit maintenant d'imaginer dénuder ces couches une à une…
Supposons que chaque couche ait une largeur infinitésimale $dr$. La surface d'une telle sphère est simplement $4\pi r^2$ et son volume $\frac43 \pi r^3$, ce qui permet de déterminer la masse $m$ d'une couche, ainsi que la masse $M$ du reste de la planète contenue à l'intérieur de cette couche : $m = 4\pi r^2 \rho dr$, $M = \frac43 \pi r^3 \rho$ avec $\rho$ la densité moyenne d'Alderaan. On peut maintenant calculer la totalité de l'énergie potentielle, toujours en injectant nos valeurs dans la formule de l'énergie gravitationnelle et en intégrant de 0 à R (le rayon initial de la planète).

$U = \int_0^R \frac{G(\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)(4\pi r^2 \rho)}{r}dr$

$U = \frac{16}{15}G\pi^2 R^5 \rho^2$

Il ne reste plus qu'à calculer la densité, qui est simplement la masse divisée par le volume : $\rho = \frac{M}{\frac43 \pi R^3}$ ; en substituant dans la formule précédente et en simplifiant, nous obtenons alors $U =\frac{3GM^2}{5R}$, soit environ $2.71 \times 10^{32}\,J$. Ce qui fait beaucoup d'énergie⁽²⁾, je vous laisse convertir en unité de Force jedi.

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1. ⁽¹⁾ ↑ Afin de ne pas froisser un public délicat, les calculs se feront pour Alderaan et non pour la Terre, personne n'aimant imaginer la destruction de son lieu de vie.
2. ⁽²⁾ ↑ C'est environ $\frac{1}{45}$ de l'énergie dégagée par le soleil en un an.