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Maintenant que phi (\(\phi\)) n'a plus aucun secret pour vous, peut-être voudriez-vous savoir ce qu'il est exactement ? Eh bien, retournons au lycée pour faire une année de 1èreS. Il est important de maîtriser le discriminant – celui que l'on nomme généralement delta et que l'on écrit \(\Delta\). Il faudrait sûrement que je raccourcisse mes explications ou la demoiselle au fond de la salle risque de s'endormir pour de bon…
Reprenons. Si je vous dis de résoudre l'équation \(x^2 - x - 1 = 0\), que me dites-vous ?
— Moi je sais, moi je sais !
— Très bien, je vous laisse prendre la craie et venir nous expliquer…
— Ben, en fait, comme c'est un trinôme(1), on peut utiliser \(\Delta\). Ici, \(a = 1\), \(b = -1\) et \(c = -1\), ce qui fait que \(\Delta = 1 + 4\times1\times1 = 5\). Comme il est positif, on a deux solutions \(x_1\) et \(x_2\) : \(x_1=\frac{1+\sqrt5}{2}\) et \(x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}\).

—C'est bien, vous pouvez retourner à votre place. Donc, \(x_1\) s'appelle \(\phi\) et \(x_2\) s'appelle \(\overline{\phi}\), que l'on prononce « phi barre ». Mais désormais, on va passer à quelque chose de moins théorique. Avez-vous une idée d'où nous pouvons trouver \(\phi\) dans la Nature ?
—Chez les lapins ?
—En effet, si on divise un nombre de la suite de Fibonacci par le précédent, on voit que le résultat tend vers le nombre d'or \(\phi\). Mais encore ?
—On m'a parlé de feuilles un jour…
—Oui, tout à fait. Prenez une branche par exemple ! Mais non jeune homme, ce n'est pas un ordre ! Et sur une branche de lunettes, je doute que vous voyiez grand chose… Donc je disais, prenez une branche et observez la disposition des feuilles. Comptez à présent le nombre de feuilles séparant deux feuilles d'orientations identiques.
—J'en ai 8 !
—Et moi 13 !
—Ces nombres ne vous rappellent-ils pas les lapins ? Car oui, ce sont bien des nombres de la suite de Fibonacci. Et maintenant, vous voyez que les feuilles font des tours autour de la tige, mais combien y en a-t-il ? À nouveau, c'est un nombre de Fibonacci. Et devinez quoi…
—Non, on ne devine pas…
—Mauvais esprit. Donc, aussi étonnant que cela puisse paraître, le nombre de tours que font les feuilles pour revenir à la feuille au-dessus de la première que l'on a observé est aussi un nombre de la suite. Et devinez la formule générale du nombre de feuilles sur le nombre de tours !
—Je dirais bien un terme de la suite sur l'avant-dernier, comme \(\frac{F_{n+2}}{F_n}\).
—Oui, et vous pourriez me donner un exemple ?
—Eh bien, par exemple, on peut voir\(\frac{13}{5}\).
—Très bien mon petit Grigori(2). Et on trouve aussi des nombres de la suite de Fibonacci dans les cœurs des fleurs, par exemple dans les tournesols. Mais là, il faut s'armer de patience pour compter…
Bon, je vous laisse, mes lapins m'attendent pour passer à table…

  1. (1) ↑ Une expression du type \(ax^2 + bx + c\), qui peut se résoudre avec un mode d'emploi générique.
  2. (2) ↑ Perelman voyons !