Certains appelleront ça du blasphème, mais je pense que nous nous trompons sur \(\pi\).
Pendant des siècles, ce nombre a reçu des éloges ; les scientifiques se sont extasiés de ses propriétés, l'ont utilisé comme un symbole pour certaines sociétés mathématiques – ou pour les mathématiques en général. Un film a même reçu son nom !

Aujourd'hui, je ne viens pas pour remettre en cause son irrationalité, sa transcendance ou son calcul numérique, mais le choix du nombre sur lequel on a accolé un symbole convoyant une signification profonde.
La vraie valeur, celle qui mérite toute la révérence et l'adulation accordée actuellement à l'imposteur, est le nombre que nous connaissons malheureusement sous le nom de \(2\pi\).

Je ne pense pas que \(\pi\) puisse être changé et remplacé par son alternative, mais il me paraît important de découvrir les répercussions de ce choix erroné, comme un avertissement et une leçon dans l'art de choisir des bonnes notations pour communiquer des idées mathématiques. Le problème de ce jour est comparable à ce qui serait arrivé si Leonard Euler avait défini \(e\) comme \(0.3678\) – soit l'inverse de la base des logarithmes naturels, \(\frac{1}{2.718\ldots}\) – menant alors à la présence d'autant de signes moins(1) dans les équations qu'il y a actuellement de facteur \(2\) découlant de la convention \(\pi = 3.14\ldots\).

La conséquence la plus importante de la mauvaise définition de \(\pi\) est vue lorsque l'on introduit les radians au lycée. Les élèves se voient alors enseignés que la mesure d'un angle en radians est plus intuitive que la mesure en degrés ; ce qui est vrai d'une certaine façon, puisque un quart de cercle est mesuré de façon plus naturelle par \(1.57\) (distance parcourue) que par \(90°\) (valeur arbitraire). Malheureusement, cette superbe idée est sabotée par le fait que \(\pi\) ne vaut pas \(6.28\ldots\), ce qui aurait fait un quart de cercle (un quadrant) égal à un quart de \(\pi\), un tiers de cercle égal à un tiers de \(\pi\), et ainsi de suite.
L'opportunité d'impressionner les élèves avec une simplification naturelle (et élégante) se transforme alors en exercice absurde de mémorisation d'un dogme abstrait. Une analogie éclairante ? Garder les horloges comme elles sont actuellement et définir une heure comme 30 minutes. Dans ce cas, 15 minutes (un quart d'horloge) serait une moitié d'heure, tout comme un quart de cercle correspond actuellement à une moitié de \(\pi\) !
Plusieurs œuvres et logiciels mathématiques préfèrent dans cette situation utiliser 90° pour indiquer une rotation d'un quart de cercle. Et on ne peut pas leur en vouloir, la faute incombant à la mauvaise définition de pi !

Les mathématiciens en culotte courte peuvent stopper ici, la prochaine fois nous verrons les changements (pardon, simplifications) apportés si l'on modifie \(\pi\) dans quelques théorèmes connus.

  1. (1) ↑ Car \(\frac{1}{e^x}=e^{-x}\).

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