Depuis Babylone, on sait résoudre les équations du second degré.
Le Moyen Âge italien nous a offert la fabuleuse méthode de Cardan-Tartaglia (avec une mémorable querelle d'antériorité), pour résoudre les équations de la forme \(x^3+px+q=0\).

Jusqu'au XIXe siècle de nombreux mathématiciens ont tenté de résoudre des équations de degré 4, 5, et même plus.

C'est là qu'arrive Évariste Galois, génie romantique mort à 20 ans, qui a malgré tout réussi à résoudre une des grandes questions de l'Histoire des Mathématiques.

Il a en effet démontré que personne, quel que soit son génie ou la puissance de son ordinateur ne pourrait jamais trouver d'algorithmes de résolution des équations polynomiales (\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 = 0\)) de degré supérieur ou égal à 5.
Cela fait intervenir les groupes de Galois, inventés pour l'occasion, dont leur auteur montra que certains ne sont pas résolubles(1).

  1. (1) ↑ Cela fait intervenir les notions compliquées d'extensions (ici galoisiennes) de corps.