Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), avant de devenir mathématicien, impressionna fortement son professeur en lui donnant très rapidement la réponse à la question qui lui avait été posée : quelle est la somme des entiers de 1 à 100 ?
La ruse mathématique qui vous est ici présentée est l'une des plus célèbres et des plus amusantes.
Pour obtenir très rapidement ce résultat, il suffit tout d'abord de se représenter le segment de la droite des entiers naturels de 1 à 100 :

Puis d'imaginer qu'on plie cette droite en deux à sa moitié. On obtient alors 50 superpositions de nombres entiers (on a divisé la longueur du segment par 2). On constate que la première superposition est ainsi constituée des nombres 1 et 100, et la somme de ces deux nombres fait 101. La deuxième superposition (que l'on appellera couple) est constituée des nombres 2 et 99, et il se trouve que leur somme fait aussi 101. Le troisième couple a également pour somme 101 (\(3+98\)), le quatrième aussi (\(4+97\))… et cela jusqu'au dernier (car on retranche 1 à un nombre et on ajoute 1 à l'autre) !
On obtient donc 50 couples qui ont chacun pour somme 101, donc la somme de tous ces couples s'écrit : \(50 \times 101\), ce qui fait 5 050.
Et il s'agit bien là du résultat que nous cherchons, puisque nous n'avons fait que manipuler un segment dont la longueur est constante.