Quelle énergie faut-il pour détruire une planète ?
Quelle puissance est nécessaire pour dissoudre une planète dans l'espace ?
Dans le film Star Wars, l'Étoile Noire tire son rayon destructeur sur la planète Alderaan. Mais quelle énergie faut-il pour détruire une planète(1) et la réduire à l'état de poussière cosmique ?
Une méthode naïve serait de calculer l'énergie requise pour disperser l'intégralité de la planète à une vitesse suffisante pour dépasser l'attraction gravitationnelle de la planète (vitesse de libération). Nous allons donc nous servir de la formule donnant l'énergie potentielle de gravitation :
\( U = - \frac{GMm}{r}\)
Où \(G\) est la constante gravitationnelle, \(M\) la masse de la planète, \(m\) la masse d'un objet à une distance \(r\) du centre cette planète.
On connaît la valeur de la constante gravitationnelle, \(6.67 \times 10^{24} N.m^2.kg^{-2}\). Il se trouve que je connais aussi la masse d'Alderaan (\(6.16 \times 10^{24}kg\)) et son rayon (\(5.61 \times 10^6m\)). Ne me demandez pas comment je suis entré en possession de ces informations, nous dirons juste que j'ai des relations au sein de l'Alliance Rebelle.
Pour calculer la vélocité nécessaire à un objet pour s'échapper du champ gravitationnel de la planète, nous nous appuierons sur la conservation de l'énergie mécanique déjà abordée sur ce site. Nous avons donc \(K_1 + U_1 = K_2 + U_2\), avec \(K_1\) et \(U_1\) correspondant respectivement aux énergies cinétique et potentielle initiales. \(K_2\) et \(U_2\) sont les mêmes énergies à un temps ultérieur. En théorie, et pour minimiser la consommation d'énergie, nous voudrions que notre objet atteigne l'infini en n'ayant plus aucune vitesse cinétique, ce qui permettrait de poser \(K_2 = U_2 = 0\), simplifiant notre formule en \(K_1+ U_1 = 0\). En utilisant la formule classique de l'énergie cinétique, nous avons \(K_1 = \frac12mv_1^2\), avec \(v_1\) la vitesse initiale. Il ne reste plus qu'à injecter nos valeurs numériques pour calculer la vitesse d'échappement : \(v_1 = 1.21 \times 10^4m.s^{-1}\). Nous y sommes presque : il ne reste plus qu'à utiliser la même formule de l'énergie cinétique avec la vitesse de libération d'Alderaan et sa masse totale pour obtenir l'énergie nécessaire à sa destruction : \(E_{totale} = \frac12 Mv^2 = 4.51 \times 10^{32}\,J\).
Cette méthode est certes simple, mais elle ne prend pas en compte le fait qu'Alderaan explose, et que sa masse change donc continuellement avec l'expulsion de débris planétaires. « Change continuellement » ? Effectivement, il va falloir faire un peu d'analyse. On est reparti ! Posons qu'Alderaan est composée d'une infinité de sphères concentriques, comme un oignon. Il suffit maintenant d'imaginer dénuder ces couches une à une…
Supposons que chaque couche ait une largeur infinitésimale \(dr\). La surface d'une telle sphère est simplement \(4\pi r^2\) et son volume \(\frac43 \pi r^3\), ce qui permet de déterminer la masse \(m\) d'une couche, ainsi que la masse \(M\) du reste de la planète contenue à l'intérieur de cette couche : \(m = 4\pi r^2 \rho dr\), \(M = \frac43 \pi r^3 \rho\) avec \(\rho\) la densité moyenne d'Alderaan. On peut maintenant calculer la totalité de l'énergie potentielle, toujours en injectant nos valeurs dans la formule de l'énergie gravitationnelle et en intégrant de 0 à R (le rayon initial de la planète).
\(U = \int_0^R \frac{G(\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)(4\pi r^2 \rho)}{r}dr\)
\(U = \frac{16}{15}G\pi^2 R^5 \rho^2\)
Il ne reste plus qu'à calculer la densité, qui est simplement la masse divisée par le volume : \(\rho = \frac{M}{\frac43 \pi R^3}\) ; en substituant dans la formule précédente et en simplifiant, nous obtenons alors \(U =\frac{3GM^2}{5R}\), soit environ \(2.71 \times 10^{32}\,J\). Ce qui fait beaucoup d'énergie(2), je vous laisse convertir en unité de Force jedi.