Il ne sera pas question dans cet article du G8, ou de toute autre association de pays. Ici, ce qui nous intéresse, ce sont les puissances mathématiques. Petit rappel : \(y^n\), \(y\) puissance \(n\) est égal à \(y\) multiplié \(n\) fois par lui-même : \(y \times y \times y\)… , \(n\) fois. Les puissances les plus faciles à estimer sont les puissances de dix (\(10^n\)), car la puissance indique tout simplement le nombre de zéros à mettre derrière un 1 : \(10^8 = 100 000 000\), soit 1 avec huit 0 derrière.
L'intérêt des puissances est de permettre d'écrire des nombres extrêmement grands assez facilement.

Voici un petit florilège de grandes puissances significatives⁽¹⁾ :

• \(10^{14}\) : le nombre de cellules dans le corps humain⁽²⁾.
• \(4 \times 10^{19}\) : le nombre approximatif de positions possibles d'un Rubik's Cube.
• \(7 \times 10^{22}\) : le nombre estimé d'étoiles dans l'Univers observable.
• \(10^{64}\) : le nombre de grains de sable qu'on pourrait mettre dans une sphère aux dimensions de la Terre⁽³⁾.
• \(10^{80}\) : le nombre de particules dans l'Univers observable. Ce qui veut dire qu'il est physiquement impossible d'écrire en entier tout nombre supérieur, l'Univers ne contenant pas assez de matière pour le faire⁽⁴⁾. Cependant, ce n'est pas parce qu'il est impossible de les écrire sans formule qu'ils existent pas !
• \(10^{100}\) : Un gogol. Simple expérience de pensée n'ayant pas d'application physique… Mais bon.
• \(10^{123}\) : Le nombre de parties d'échec différentes possibles⁽⁵⁾.
• \(10^{140}\) : L'Asamkhyeya⁽⁶⁾ : dans la pensée bouddhiste, c'est le nombre le plus grand (d'ailleurs, il signifie « au-delà des nombres »).

• \(10^{600}\) : le nombre de parties de go différentes possibles, bien supérieur à celui du jeu d'échec grâce à la taille du plateau et aux règles plus simples.
  À partir d'ici, les nombres considérés sont tellement gigantesques que même en puissance, ils ne sont que peu représentables…

• \(10^{12 978 189}\) : l'ordre de grandeur du plus grand nombre premier connu. La valeur exacte en est \(2^{43 112 609}-1\) (ce qui, à vrai dire, ne nous avance guère).
• \(10^{gogol}\) : nommé gogolplex, c'est tout simplement 10 à la puissance gogol.

Il existe un nombre significatif encore plus grand (eh oui, c'est possible !) : le nombre de Graham, considéré comme le plus grand nombre jamais utilisé dans une démonstration mathématique (une histoire d'hypercube rouge et bleu), si grand qu'il ne peut s'exprimer simplement, même en usant des puissances.

À côté de tous ces nombres, on se sent petit, non ?

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1. ⁽¹⁾ ↑ La plupart de ces nombres sont des approximations, ou bien des ordres de grandeur, la véritable valeur étant soit incalculable, soit trop longue ou trop complexe pour être écrite facilement…
2. ⁽²⁾ ↑ Précisons que le nombre de bactéries dans le corps humain s'élève à \(10^{15}\), soit dix fois plus !
3. ⁽³⁾ ↑ Du moins, selon Archimède…
4. ⁽⁴⁾ ↑ Enfin, à priori, étant donné qu'une particule ne suffit pas à écrire un chiffre, et que de toutes manières, la plupart de ces particules ne sont pas accessibles, il est impossible d'écrire des nombres même inférieurs… Mais qui voudrait faire ça, de toutes manières ?
5. ⁽⁵⁾ ↑ Nommé également nombre de Shannon, du nom de Claude Shannon, le mathématicien qui l'estima.
6. ⁽⁶⁾ ↑ Ne me demandez pas comment ça se prononce !