Tout le monde connaît le principe de l'arbre généalogique.
Prenons un couple, par exemple Pépin le Bref et Berthe aux grands pieds, unis au temps passé.
De leur union naquirent des enfants, dont Charlemagne, qui à leur tour s'unirent et eurent des enfants qui à leur tour… On construit ainsi un superbe arbre généalogique des descendants ! Et la descendance de Pépin et Berthe augmente, augmente sur le papier… Dans la vie, les descendants vivants à une même époque sont moins nombreux : sans être cynique, il y des décès qui compensent les naissances. Les recherches dans les registres paroissiaux puis d'état civil aux archives sont ardues, mais possibles et vous feront voyager : la descendance de Pépin et Berthe s'est éparpillée un peu partout…

À l'inverse, vous pouvez construire l'arbre généalogique de vos ascendants : vous, vos deux parents, vos quatre grands-parents, vos huit arrière-grands-parents, etc. Vos recherches sont encore plus difficiles, mais vous êtes obstinés : vous avez bientôt un nombre d'ancêtres impressionnant :

\(2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 9 192 + 18 384\)

Si vous comptez votre génération et environ trois générations par siècle, cela fait à peu près 500 ans. Pas mal !

Comment compter vos ancêtres⁽¹⁾, (on vous comptera aussi tant qu'à faire) ?

\(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 192 + 16 384\)

Imaginez que vous ajoutiez 1 de plus au début de la somme et que vous retranchiez 1 au dernier moment : votre calcul paraît simple !
\(1 + 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1 024+2 048+4 096+8 192+16 384 - 1\)
\(1 + 1=2\), \(2+2=4\), \(4+4=8\) et ainsi de suite jusqu'à \(16 384 + 16 384 = 32 768\) et \(32 768 - 1 = 32 767\).
Comme vous vous êtes comptés, vous venez de recenser 32 766 ancêtres en environ 500 ans.
Pas mal ?

Nous sommes à peu près 6 milliards aujourd'hui sur la Terre et chacun avec 32 766 ancêtres sur 500 ans environ : \(6 \times 32 766 = 196 596\) Quoi ! deux cent mille milliards ? Bizarre ! un souci ?
D'autant plus qu'en remontant plus loin dans le passé⁽²⁾, en oubliant vos contemporains et en oubliant vos ancêtres intermédiaires, en remontant de génération en génération, vous faites exploser les compteurs avec vos aïeux les plus lointains, correspondant à votre seul arrêt par lassitude !
Pour 39 générations, soit environ 13 siècles, 549 755 813 888 aïeux auraient grouillés sur la Terre et la génération précédente aurait compté plus d'un million de milliards d'ancêtres.

On ne remontera pas à Néanderthal ! Il y a bien un souci ! Où est le problème ?
Les plus anciens fossiles hominiens ou humains retrouvés ont été découverts en plusieurs points du globe, mais on peine à les imaginer si nombreux…
Alors ?

Alors l'arbre généalogique n'est pas une si bonne image : les branches se sont parfois croisées : des cousins, plus ou moins éloignés, ignorant le plus souvent cette lointaine parenté, se sont unis⁽³⁾, les nombreux ancêtres que vous avez dénombrés ne représentent pas autant de personnes différentes et vos contemporains ont avec vous bon nombre d'ancêtres communs !

À un degré lointain, nous sommes tous cousins cousines ! Alors n'oublions jamais cette fraternité…

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1. ⁽¹⁾ ↑ Il s'agit bien sûr de puissances de 2 et la somme des puissances de 2 de 0 jusqu'à 2 puissance nième est égale à la différence 2 puissance n+1ième moins 1 ; \(2^0+2^1+2^2+2^3+ \cdots +2^n = \sum_{i=0}^n 2^i = 2^{n+1}-1\)
2. ⁽²⁾ ↑ 500 ans à l'échelle de l'humanité, ce n'est rien du tout !
3. ⁽³⁾ ↑ Deux cousins germains qui s'unissent ont à la deuxième génération précédente les mêmes ancêtres, de même pour des cousins plus éloignés en remontant un peu plus avant, les ancêtres sont bien les mêmes.