La méthode de Héron est une méthode mathématique qui permet d'extraire facilement et rapidement les racines carrées. Cette méthode utilise des suites. Voici le cas général :

\(u_{n+1} = \frac{u_n + \frac{A}{u_n}}{2}\), avec \(A\) le nombre dont on souhaite trouver la racine carrée. Chaque terme de notre suite \((u_n)\) approchera un peu plus à chaque fois le nombre \(\sqrt{A}\). La preuve ? Prenons par exemple \(A = 9\), sa racine carrée est bien sûr \(3\). Pour premier terme l'on peut prendre n'importe quel nombre tant qu'il est positif. Bien entendu, plus il est proche de la racine carrée, plus la suite convergera rapidement.

Posons \(u_0 = 6\).

Alors on peut calculer terme à terme :

\(u_1 = \frac{u_0 + \frac{A}{u_0}}{2} = \frac{6 + \frac{9}{6}}{2} = \frac{45}{12} = 3.75\)

\(u_2 = \frac{u_1 + \frac{A}{u_1}}{2} = \frac{\frac{45}{12} + \frac{9}{\frac{45}{12}}}{2} = \frac{3321}{1080} = 3.075\)

\(u_3 = \frac{u_2 + \frac{A}{u_2}}{2} = \frac{\frac{3321}{1080} + \frac{9}{\frac{3321}{1080}}}{2} = \frac{21526641}{7173360} = 3.00091463414634146341\)

La suite converge en effet très rapidement !