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Si vous avez parcouru l'article précédent Drôles de calculs ! , vous vous souvenez que l'ensemble des entiers naturels, \(\mathbb{N}\), et tous les ensembles qui ont « autant d'éléments »⁽¹⁾ que lui ont pour cardinal le nombre infini \(\aleph_0\) : il s'agit des ensembles infinis dénombrables comme \(\mathbb{N}\), l'ensemble des entiers pairs, des entiers impairs, des couples d'entiers… de même l'ensemble des multiples d'un entier non nul quelconque \(n\)…

Voilà donc beaucoup d'ensembles dénombrables pour lesquels on peut compter les éléments en commençant par \(0\) ou par \(1\)⁽²⁾. Prêt au départ ? un pas devant l'autre sur la longue route infinie…
Mais si on part aussi en marche arrière⁽³⁾, on trouve tous les entiers relatifs, les positifs et les négatifs bien symétriques par rapport à 0, l'origine.

\(\ldots ; -9 ;-8 ; -7 ; -6 ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; +1; +2 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ; +7 ; +8 ; +9 ; +10 ; \ldots\)

Cet ensemble \(\mathbb{Z}\)⁽⁴⁾ est-il dénombrable ? On en a deux fois plus ? Une intuition ? oui, vous avez raison ! \(\mathbb{Z}\) a autant d'éléments que \(\mathbb{N}\), il suffit de les ranger correctement :

\(0 ; +1 ; -1 ; +2 ; -2 ; +3 ; -3 ; +4 ; -4 ; +5 ; -5 ; +6 ; -6 ; +7 ; \ldots\)

De même \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\), l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs, est lui aussi dénombrable : on peut numéroter les nœuds d'un quadrillage en partant du couple origine (0 ; 0)→0 puis parcourir le carré des 8 couples qui entourent l'origine (+1 ; 0)→1 (+1 ; +1)→2 (0 ; +1)→3 (-1 ; +1)→4 (-1 ; 0)→5 (-1 ; -1)→6 (0 ; -1)→7 (+1 ; -1)→8 puis on parcourt le carré suivant dans le même sens et ainsi de suite en « escargot » de carrés en carrés de plus en plus grands…

Et \(\mathbb{Q}\) l'ensemble des rationnels⁽⁵⁾ alors ? encore un ensemble dénombrable ? Il y a autant ou moins de rationnels (quotients) que de couples de \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) (pensez au couple formé du numérateur et du dénominateur), et il y a autant ou plus de quotients que d'entiers relatifs (pensez aux quotients d'un entier quelconque par le dénominateur \(1\)). Donc \(\mathbb{Q}\) a lui aussi autant d'éléments que \(\mathbb{N}\) ! \(\mathbb{Q}\) est donc dénombrable, comme \(\mathbb{D}\) l'ensemble des décimaux relatifs lui aussi est dénombrable… Voilà des ensembles \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{D}\) qui semblent plus « riches » que \(\mathbb{N}\) et pourtant ils sont eux aussi dénombrables ! Étonnant, non ?

Alors tout est dénombrable ? Attendez le prochain épisode…

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1. ⁽¹⁾ ↑ Grâce à une bijection ou association un-à-un.
2. ⁽²⁾ ↑ Devant l'infini, un élément de plus ou de moins compte vraiment pour rien.
3. ⁽³⁾ ↑ Marche avant ou marche arrière, sur une route, ce n'est qu'un choix arbitraire, c'est donc relatif !
4. ⁽⁴⁾ ↑ Son nom vient de l'allemand : zahlen signifie compter.
5. ⁽⁵⁾ ↑ Son nom vient de quotient.

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