Pour aborder le problème des modélisations mathématiques, il est nécessaire de prendre un exemple. J'ai choisi celui des lemmings.

Les lemmings sont de petits rongeurs principalement situés en Scandinavie. Une légende court à leur propos : ils se suicideraient en se jetant du haut des falaises dans de grands cours d'eau ou tout simplement dans le vide. Ce phénomène de suicide collectif a été étudié et aujourd'hui, le mystère est résolu. Les lemmings migrent en grands groupes de plusieurs centaines voire plusieurs milliers d'individus. Ils marchent en plusieurs colonnes, à la file indienne, et seuls les premiers voient le chemin. Les autres suivent aveuglément. Et si les premiers rongeurs tombent, la masse les pousse plus avant et c'est la chute infernale pour tout le monde. Bref, il ne s'agit que de banals accidents.

Mais pourquoi migrent-ils ? Parce qu'ils manquent de nourriture. Et pourquoi manquent-ils de nourriture ? Parce qu'ils sont en surpopulation. Et pourquoi sont-ils en surpopulation ? Parce qu'ils copulent.

Nous allons essayer de prévoir l'évolution d'une population de lemmings en fonction de nombreuses données. Je vous propose pour ce faire de réfléchir à deux modélisations.

Abordons dans cet article la première modélisation en utilisant quelques notations :

• \(L_n\) le nombre de lemmings à la date \(n\) ;
• \(\gamma\) le nombre d'enfants moyen par couple, \(1 \leq \gamma \leq 8\) ;
• \(L_0\) le nombre de lemmings initiaux ;

Supposons qu'il y ait autant de mâles que de femelles qui naissent. Les mâles sont sexuellement matures au bout de 44 jours, les femelles au bout de 20 jours. Cela signifie grossièrement qu'un nouvel accouplement peut avoir lieu tous les 45 jours. La gestation (la grossesse) dure environ 19 jours, donc nous pouvons espérer une nouvelle fournée de lemmings tout chauds au bout de 65 jours par couple. Supposons également qu'ils s'accouplent tous en même temps.

Chaque date correspond donc à 65 jours. Les scientifiques estiment que la surpopulation intervient au bout de trois ans. Nous étudierons donc la suite au bout de 1095 (\(365 * 3\)) jours, soit :

\(n = \frac{1095}{65} \approx 17\)

Nous devons donc exprimer \(L_{17}\) en fonction du reste. Réfléchissons à la manière selon laquelle se définit notre suite \(L_n\).

Le nombre de lemmings à une date \(n+1\) correspond au nombre de lemmings de la portée précédente (date \(n\)), cœfficienté par le taux de mortalité \(d\) que l'on estime à 60 %, ajouté au nombre d'enfants de la nouvelle portée.

Donc :

\(L_{n+1} = (L_n - \frac{60}{100} L_n) + enfants\)

Il y a autant de nouvelles portées que de couples. Et comme il y a \(L_n\) lemmings, on a \(\frac{L_n}{2}\) couples. Comme chaque famille a \(\gamma\) enfants, on a \(\frac{L_n \times \gamma}{2}\) enfants en plus à chaque fois.

Ainsi :

\(L_{n+1} = L_n (1 - 0.6) + \frac{L_n \times \gamma}{2}\)

\(L_{n+1} = L_n \left(0.4 + \frac{\gamma}{2} \right)\)

\(L_{n+1} = L_n \left(\frac{\gamma + 0.8}{2} \right)\)

On multiplie chaque terme par un même nombre pour trouver le suivant. Nous sommes donc face à une suite géométrique de raison \(\frac{\gamma + 0.8}{2}\) et de premier terme \(L_0\). C'est pourquoi notre suite devient :

\(L_n = L_0 \times \left(\frac{\gamma + 0.8}{2}\right)^n\)

Nous pouvons calculer \(L_{17}\) directement ! Mais il nous faut tout de même quelques paramètres. Étudions cette valeur dans deux cas : lorsque \(\gamma = 8\), chaque femelle donne naissance à huit enfants et \(L_0 = 10\), la population de départ est assez importante ; lorsque \(\gamma = 2\), doucement et sûrement, et \(L_0 = 2\), nous n'avions qu'un couple au départ.

Calculons :

\(L_{17} = 10 \times \left(\frac{8 + 0.8}{2}\right)^{17} = 10 \times 4.4^{17} = 8,68 \times 10^{11}\)

OK. Ce n'est pas ça. Un lemming fait jusqu'à 19 centimètres de longueur. Alignez tous ces lemmings et faites-en une tour ; vous grimperez jusqu'au soleil. En termes de masse, c'est la quantité de béton du barrage des Trois-Gorges, en Chine.

Bon, et avec les paramètres faibles ?

\(L_{17} = 2 \times \left(\frac{2 + 0.8}{2}\right)^{17} = 2 \times 1.4^{17} = 609\)

610 individus ! Vous ne monterez pas bien haut. En masse, cela correspond à un chien.

Comme vous pouvez le voir, cela change du tout au tout. Il suffit de diminuer radicalement le nombre moyen d'enfants par portée et tout change.

Si je parviens à réaliser la seconde modélisation, beaucoup plus complexe, je vous en ferai part dans un prochain article !