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Le nombre d'or \(\phi\) est l'unique rapport \(\frac{a}{b}, (a,b) \in (\mathbb{R}^*)^2\) tel que \(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\)
On a \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

Démonstration (qui peut être omise en première lecture, niveau de connaissance 1ère S) : \(\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a}\)
Donc \(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}=\frac{a}{b} - \frac{1}{\frac{a}{b}} = 1\).
Notons \(\phi=\frac{a}{b}\), on a donc \(\phi - \frac{1}{\phi} = 1 \Longrightarrow \phi^2 - 1 = \phi\). Donc \(\phi^2 - \phi - 1 = 0\). Cette équation a déjà été citée dans cet article.
On calcule le discriminant⁽¹⁾ \(\Delta=5\).
On cherche une solution positive qui est donc \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), CQFD !

On dispose de quelques magnifiques écritures pour ce nombre, en particulier :

\(\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+..}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....}}}\)

Les liens de cette valeur avec les hommes remontent à l'Antiquité, puisque la pyramide de Khéops, le Parthénon d'Athènes, notamment, dissimulent le nombre d'or dans certains rapports de leurs longueurs.
Au Moyen-Âge, Lucas Pacioli écrit « La Divine Proportion » (\(\phi\)), illustrée par Léonard de Vinci dans l'Homme de Vitruve.
Le mathématicien Fibonacci, grâce à sa célèbre suite, donne un moyen inattendu de calculer le nombre d'or.

Au XIX^e siècle, le Louvre et l'Arc de Triomphe sont construits de telle manière à faire apparaître ce nombre. Il finira même par apparaître dans la peinture.
On réalisa ensuite que certaines plantes ou fossiles dont le nautile et… l'être humain ont également certains rapports de longueurs égaux à \(\phi\) !

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1. ⁽¹⁾ ↑ Voir un prochain article sur les équations du second degré pour plus de détails

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