3435, baron allemand

Que fait un mathématicien quand il s'ennuie ?

Réponse : il cherche des propriétés amusantes. Enfin, en tous cas c'est la seule explication logique que j'aie pu trouver pour expliquer l'existence d'une catégorie de nombres, les nombres de Münchhausen⁽¹⁾, qui contient le total incroyable de deux nombres.
C'est un peu cheap quand même…

Mais alors, qu'ont-ils de bien particulier, ces nombres, et qu'est-ce qui leur vaut une classification affublée d'un tel nom ?

Eh bien ces nombres ont pour particularité d'être égaux à la somme de leurs chiffres, élevés à leur propre puissance⁽²⁾.

Bon, j'avoue, on a connu des jus de boudins plus clairs que ça. Donc pour faire plus simple, prenons un nombre à quatre chiffres noté « abcd » ; ce nombre est un nombre de Münchhausen si \(a^a+b^b+c^c+d^d = abcd\). Cela dit on aurait pu prendre moins général comme exemple, au vu de la multitude de nombres qui correspondent à cette définition, à savoir 1 et 3 435.

Pour preuve : \(1^1 = 1\) (quelle surprise) et \(3^3+4^4+3^3+5^5 = 3435\).
Notons rapidement que si on considère que \(0^0 = 0\) au lieu de \(0^0 = 1\) comme souvent, on peut rajouter 438 579 088, mais on parle alors de nombres PDDI, et non plus nombres de Münchhausen.

Et sinon, Münchotruc, ça vient d'où ?

Ce nom provient d'un héros populaire de l'Allemagne du XIII^e siècle, le baron de Münchhausen, surtout connu pour sa modestie plutôt atrophiée, et ses affabulations le mettant en valeur. Il aurait entre autres, à le croire, volé juché sur un boulet de canon.

Mais pourquoi diantre doter d'un tel nom une catégorie de nombres qui, ma foi, n'a pas fait grand-chose pour le mériter ?

La raison vient d'une autre catégorie de nombres, dont la propriété est semblable à celle des nombres de Münchhausen : les nombres narcissiques (d'où le lien avec ledit baron). Ces nombres-ci ont eux aussi la propriété d'être égaux à la somme de leurs chiffres élevés à une puissance, mais ici cette puissance est égale au nombre de chiffres composant le… nombre. Euh…

C'est toujours pas de l'eau de roche, hein ? Explicitons encore avec notre bon vieux « abcd » : abcd est composé de quatre chiffres, et est donc un nombre narcissique si \(a^4+b^4+c^4+d^4 = abcd\). Les nombres narcissiques sont un peu plus nombreux, avec un total de quatre-vingt-huit participants.

Quant à l'utilité de cette autre catégorie de nombres, merci de s'en remettre au début de cet article !

1. ⁽¹⁾ ↑ Ou Münchausen, avec un seul h, mais nous reviendrons sur ce nom plus tard.
2. ⁽²⁾ ↑ Histoire d'être bien d'accord : les chiffres vont de 0 à 9, et les nombres sont formés de chiffres.