Fick, alors qu'il était en conférence, commença son discours par un thé. Il regarda l'assemblée de grands scientifiques avant de mettre une cuillère dans son breuvage chaud…
Du moins c'est comme ça que se raconte la légende. Mais pourquoi une foutue cuillère aurait tout le pouvoir ? Et bien il l'a dit lui-même : « Messieurs, si vous ne mélangez pas, votre thé sera rance avant d'être sucré de façon homogène. »
Plus fort que tout, il l'a démontré.

Maintenant, vous savez pourquoi on vous donne l'affreuse “touillette” en plastique moche qui va avec le café, le thé et autres boissons, mais aussi pourquoi les gens utilisent une cuillère dans leur thé. Toutefois, vous êtes là pour briller en société et pour ça il ne faut pas seulement sortir une jolie phrase mais être un peu plus précis… C'est là que les équations sortent… Je vais faire vite pour ne pas achever toute l'assistance.

Fick a dit (après avoir regardé les travaux de Brown) :

\(\vec{j} = -D \vec{grad} n\)

Et ça nous fait une belle jambe (\(n\) étant le nombre de molécules en question, \(\vec{j}\) le vecteur diffusionnel et \(D\) le cœfficient de diffusion de \(n\) dans le milieu), sauf que dans un milieu clos, comme une tasse de café de thé ou de flotte, où il n'y a pas de changement de composition(1) :

\(div \vec{j} + \frac{\partial n}{\partial t} = 0\)

Là, les mathématiciens voient le bout du tunnel, les physiciens sourient, et les chimistes pleurent…
Pour une fois je vais me mettre à la place du physicien (pour que ça soit un peu appliqué mais aussi pour m'amuser)… Et vous allez comprendre la phrase merveilleuse du « J'ai une solution pour toi, mais ça marche seulement avec une poule sphérique et dans le vide ».

Sans grande difficulté on combine les deux équations pour avoir un laplacien sauvage :

\(\frac{\partial n}{\partial t} = D \Delta n\)

Et là, on dit que la tasse de café / thé est un mug, que le sucre est un bâton de sucre vertical et assimilable à une ligne dissoute totalement à l'instant \(t\), qu'il est posé exactement au centre du mug et que sa hauteur est égale à la hauteur de café / thé dans le mug. Au point où on en est, on assimile la substance à l'intérieur à de l'eau uniforme et homogène en température et en concentration… parce que bon, la seule symétrie qu'on voit pour caser notre laplacien c'est la cylindrique (si vous voyez la sphérique avec un sucre qui flotte au centre et une tasse parfaitement ronde libre à vous de faire le calcul, moi, là, j'ai déjà plus qu'un tiers des gens alors).

Vous arrivez après toutes ces approximations et des erreurs de calculs qui se compensent à :

\(\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{D}{r} \frac{\partial^2 n}{\partial r^2} + P\)

Ce qui fait des superbes solutions toute moches… Mais il y a une jolie approximation qui nous intéresse :

\( \tau = \frac{r^2}{D}\)

Avec \(\tau\) le temps pour que le truc soit « à peu près homogène ». Sur une tasse / mug de 5 cm de rayon avec \(D\) du sucre dans l'eau \(= 0.52 10-9 m^2/s\) on obtient \(\tau = 4 807 692s = 55 jours\). 55 jours ! Avec toutes ces approximations ‽ Donc bien plus long en vrai…

Comme quoi, la touillette, ce n'est pas si mal au fond, ça fait gagner 55 jours en 3 minutes, c'est ce qu'on appelle du rendement !

Bon thé à vous, moi, je vais mélanger le mien.

  1. (1) ↑ On vire l'évaporation car vous ne voulez pas voir ce que ça fait avec évaporation.