L'article en lien de Libé m'a beaucoup fait rire. Il avance des résultats affolants sur les probabilités d'accident nucléaire à grand coup de formules moralisatrices telles que « un constat accablant quand on prend conscience de la pleine signification de ces chiffres ». Ce qui est particulièrement cocasse quand sait l'erreur que les auteurs ont justement commise consistant à mal interpréter leurs chiffres. Ainsi, ils « calculent » une probabilité supérieure à 100%⁽¹⁾ et parlent donc d'une « certitude statistique »⁽²⁾.

Bon, nous ne sommes pas ici pour nous moquer de cet ingénieur et de ce physicien nucléaire, d'autres s'en sont déjà chargés. Nous allons plutôt expliquer plus précisément l'erreur qui a été commise. En effet, l'autre article (du CNRS cette fois, toujours en lien) donne bien la bonne méthode de calcul pour la probabilité, mais il n'est pas très clair sur la raison pour laquelle il faut raisonner ainsi.

En fait, les auteurs sont allés un peu vite en besogne. En omettant par habitude le cadre de leur modélisation, ils ont cette fois-ci confondu deux notions : l'espérance et la probabilité.

Ainsi, en admettant tels quels les chiffres utilisés⁽³⁾, les auteurs trouvent 4 accidents pour 14 000 années-réacteurs. Ils calculent donc leur chiffre de \(\frac{4}{14 000} \approx 3 \times 10^{-4}\). Ils en déduisent alors, en effectuant naturellement le calcul inverse sur le parc Européen actuel, le chiffre de \(3 \times 10^{-4} \times 143 \times 30 \approx 1,29\). Remarquez comme je ne présente pas ce chiffre sous la forme d'un pourcentage. C'est parce qu'ici nous ne traitons pas de probabilité mais d'espérance. Cela veut dire qu'en moyenne, et dans le modèle utilisé, il y aurait 1,29 accidents en trente ans sur toute l'Europe. Ainsi, si on imaginait une infinité de mondes parallèles dans notre situation actuelle, une grande part de ces mondes auraient 0 accidents, certains en auraient 1, d'autres 2, d'autres beaucoup plus ! Et en moyenne, cela ferait environ 1,29 accidents.

Mais alors, l'article du CNRS se trompe également en parlant de \(3 \times 10^{-4}\) comme probabilité ? Non bien sûr, ils sont bien trop sérieux pour ça. Mais il faut effectuer pour comprendre une étape supplémentaire que certains auraient gagné à détailler.

On va donc expliciter le modèle utilisé. Ce que les auteurs ne disent pas, car ils considèrent les hypothèses comme classiques, c'est qu'on considère que :

• la probabilité d'occurrence de l'accident est constante dans le temps. Si un accident arrive ou non une année, il a autant de chance de se produire l'année prochaine.
• la probabilité est indépendante du nombre d'années ou du réacteur. Qu'on ait un réacteur fonctionnant pendant 14 000 ans ou 14 000 pendant un an revient au même dans ce modèle.
• il ne peut y avoir plus d'un accident par an sur un réacteur. Il arrive ou non, c'est tout. C'est l'épreuve de base du modèle.

Comme vous le voyez, hypothèses classiques n'implique pas hypothèses facilement vérifiées⁽⁴⁾. Bref, les experts auront décelé dans ces hypothèses l'application du modèle de Bernoulli pour un réacteur en une année. On sait dans ce modèle qu'il y a une certaine probabilité d'apparition de l'accident \(p\), et que l'espérance d'apparition vaut aussi \(p\), d'où la confusion. On peut alors très bien approcher le \(p\) de l'espérance en moyennant le nombre d'apparitions (Fukushima, Tchernobyl) sur le nombre d'épreuves (14 000 années-réacteurs). On peut alors en déduire une approximation du \(p\) de la probabilité (facile ici, c'est le même).

Par contre, il est absolument interdit de sommer des probabilités non disjointes⁽⁵⁾. Or sommer les probabilités, c'est ce que l'ont fait quand on multiplie \(p\) par 143 réacteurs et 30 ans⁽⁶⁾.

Qu'est-ce que j'entends par probabilités disjointes ? Ce sont des probabilités concernant des évènements qui ne peuvent être vrais ensembles. On parle aussi d'évènements incompatibles. Plus concrètement, on aurait le droit de sommer les probabilités d'accident nucléaire seulement si la survenue d'un accident une année sur un réacteur d'Europe empêchait la survenue de tout autre accident. Ce n'est pas du tout le cas ! Si on somme ces probabilités, on somme trop de choses, il y a des évènements qu'on prend plusieurs fois en comptes⁽⁷⁾ et donc cela ne veut rien dire.

Si on voulait procéder proprement, il faudrait donc retrancher la probabilité qu'on compte en double, à savoir l'intersection des évènements. Ainsi, il faudrait sommer la probabilité d'avoir un accident l'année 1, plus celle de l'avoir l'année 2 moins celle de l'avoir à la fois l'année 1 et l'année 2. Le calcul est possible mais cela se complexifie terriblement avec le nombre d'années.

Une autre approche beaucoup plus intéressante est celle du CNRS. Dans le cas des évènements indépendants, la probabilité de les avoir tous ensemble est simplement le produit de leurs probabilités. Ainsi, on calcule très facilement la probabilité de ne pas avoir d'accident comme étant la probabilité de ne pas avoir d'accident l'année 1 en même temps que de ne pas en avoir l'année 2 et ainsi de suite. Il suffit donc de multiplier les probabilités de ne pas avoir d'accidents. On retrouve le calcul \((1-p)^{143 \times 30}\) pour la probabilité de n'avoir aucun accident nucléaire. On retrouve donc la probabilité de l'évènement inverse (avoir un accident ou plus) comme étant simplement 1 moins cette probabilité : \(1-(1-p)^{143 \times 30}\). Pour la probabilité élémentaire trouvé dans l'article, on obtient la valeur finale de la probabilité d'avoir un accident en Europe pour les 30 prochaines années de : 72%. Ouf⁽⁸⁾ !

Enfin pour ceux qui auraient voulu appliquer cette méthode directement sur la probabilité d'avoir un accident et faire \(p^{143*30}\), méditez bien ce qui suit. Vous calculez la probabilité que tous les réacteurs aient chaque année un accident. Vous oubliez tous les cas intermédiaires ou un ou plusieurs réacteurs parviennent à tourner sans détruire la planète.

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1. ⁽¹⁾ ↑ On remarque d'ailleurs qu'ils semblent avoir eu des scrupules à utiliser ce chiffres et restent donc évasifs en parlant d'une probabilité « de plus de 100% ».
2. ⁽²⁾ ↑ Cette formule est brillante ! En effet, elle n'a aucun sens et marque d'autant plus l'absurde du résultat obtenu.
3. ⁽³⁾ ↑ Et croyez-moi, il y aurait aussi beaucoup à dire dessus.
4. ⁽⁴⁾ ↑ On peut évoquer la modernisation des techniques et procédures de sécurité ou encore l'expérience des accidents précédents par exemple.
5. ⁽⁵⁾ ↑ Cela n'aurait aucun sens, ce serait comme additionner des choux et des patates !
6. ⁽⁶⁾ ↑ Sauf si on considère que c'est les espérances qu'on somme, dans ce cas aucun souci mais on obtient une espérance, pas une probabilité
7. ⁽⁷⁾ ↑ En fait, on somme en trop les intersections des évènements, c'est à dire les situations ou plusieurs accidents arrivent.
8. ⁽⁸⁾ ↑ Ouf, on a fini le calcul ! Parce que pour ce qui est de l'interprétation, c'est une toute autre histoire !