Un peu d'histoire avant de commencer. Ce célèbre problème mathématique est inspiré d'un jeu télévisé américain « let's make a deal » animé par le présentateur Monty Hall. Lors de sa parution, en 1990 dans un numéro du magazine Parade, il y eut une réticence énorme quant à l'analyse faite par Marilyn vos Savant qui, rappelons-le, avait un Q.I.record de 228. Ce n'est qu'après un an de controverse que la presse fit paraître un article donnant raison à Marilyn, le 21 juillet 1991. Autant vous dire tout de suite que j'ai moi-même mis du temps à intégrer la solution, et qu'il m'arrive encore de me dire : « Mais ? Ce n'est pas logique cela ! »
Commençons.

Vous êtes à un jeu télévisé et vous parvenez à l'épreuve finale. Le présentateur annonce : « Mr. Lecteurdomnilogie (ou Mme !), vous avez face à vous trois portes fermées. Derrière ces portes, il y a deux chèvres et une ferrari flambant neuve, réparties aléatoirement, mais j'ai connaissance de la répartition. Je vais vous demander de choisir une porte, n'importe laquelle.
— Je choisis celle de gauche », dites-vous sans grande conviction.
Il est prévu que le présentateur ouvre ensuite une porte, autre que celle choisie, révélant une chèvre. Il annonce alors :
« Préférez-vous garder la porte que vous venez de choisir, ou bien changer votre choix en optant pour l'autre ? »

Là, vous êtes perplexe… Pourquoi changer de porte, sachant qu'il n'en reste que 2, et qu'une chèvre est éliminée, changerait votre probabilité de gagner ? Elle est maintenant égale à ½ non ?

Détrompez-vous. Si vous changez de porte, vous avez 2 chances sur 3 de gagnez la ferrari (à moins que vous ne préfériez une chèvre, mais cela est subjectif) et 1 chance sur 3 d'obtenir une chèvre, soit 2 fois plus de chance. C'est ici que notre logique nous fâche avec le problème. Pourquoi le fait de choisir une porte pour choisir celle qui restera à la fin changerait quelque chose ? Choisir une porte pour ensuite prendre l'autre ? On aurait très bien pu choisir l'autre pour ensuite désigner celle convoitée au départ !

Petite démonstration : Au moment de votre premier choix, vous avez 1 chance sur 3 de gagner, soit 2 chances sur 3 de perdre. Quand le présentateur retire une chèvre, il vous retire par la même occasion 1 chance sur 3 de perdre. On obtient 2/3 – 1/3 = 1/3 de chance de perdre soit 2/3 de chance de gagner. Ce n'est pas plus compliqué.

À ce stade, gardez votre calme. Ne devenez pas chèvre. Je devine le cinglant « ½ » qui vous martèle l'esprit.

En fait, on pourrait prendre 1 000 000 de portes. Une d'entre elles est gagnante. Après votre premier choix, votre probabilité de gagner est mince ; 0,000 001 pour être précis. Mais le jeu continue, et le présentateur retire 999 998 des 999 999 portes restantes, sans retirer la gagnante, évidemment. Donc, si vous changez de choix, vous aurez 99,999 9 % de chances de gagner, autant dire qu'il faut changer de porte !

Et si ces explications ne vous suffisent pas, faites l'expérience chez vous ; vous constaterez que la probabilité de gagner quand vous changez de porte à la fin tendra inexorablement vers un certain 0,666 666 666…