Installez vous au grand hôtel de Hilbert, il y a toujours de la place !
Mais il vous faudra peut-être une infinie patience… Parce que ça déménage !

Au grand hôtel Hilbert⁽¹⁾, le service est peut-être moins soigné qu'au Crillon, mais on accueille tous les clients au fur et à mesure de leur arrivée. Les chambres sont numérotées 0, 1, 2, 3, 4, 5, … et ça ne s'arrête tout simplement pas.

Un jour, l'hôtel est plein et un nouvel arrivé irascible⁽²⁾ demande la chambre 0. Pas de problème : chaque ancien client déménage à la chambre suivante et le client irascible peut prendre la chambre 0.
Un autre jour où l'hôtel est plein, arrivent inopinément 5 clients. Pas de problème non plus : on déménage les anciens clients en les installant aux chambres 5, 6, 7, 8, 9, … et les 5 derniers nouveaux arrivés sont logés aux chambres 0, 1, 2, 3, 4 !

L'hôtel est toujours plein, on en construit un identique dans la ville voisine, mais un jour où les deux hôtels sont pleins, une alerte au gaz oblige à évacuer et reloger tous les clients du second hôtel dans le premier. Va-t-on pouvoir héberger tout le monde ? Pas de problème :

• les clients du premier hôtel déménagent de leurs anciennes chambres 0, 1, 2, 3, 4, … aux chambres 1, 3, 5, 7, 9, …
• et les clients de l'hôtel sinistré déménagent de leurs anciennes chambres 0, 1, 2, 3, 4, … aux chambres 0, 2, 4, 6, 8, ….

Pour éviter la panique, la consigne donnée aux clients du premier hôtel est simple : « vous multipliez votre numéro de chambre par 2 et vous ajoutez 1, voilà votre nouveau numéro de chambre ! ». « M. Achille Talon, vous aviez la 137 ? vous aurez donc la 2 × 137 + 1, c'est-à-dire la 274 + 1 : Voilà la clef de la 275, Monsieur ! Bon séjour, Monsieur. »

La consigne donnée aux clients du second hôtel est encore plus simple (les clients ont été perturbés par l'alerte, on les ménage) :
« Vous multipliez par 2 votre ancien numéro de chambre et voilà votre nouveau numéro de chambre ». « Mademoiselle Cassandre de Troie, ah ! c'est vous qui avez prévenu du danger et ils vous ont cru ? Tiens, c'est bizarre ! Voyons donc, vous aviez la 29 772, vous aurez donc la 2 × 29 772, voilà la clé de la 59 544, Madame, Ah ! Pardon Mademoiselle… »

Dérivons un peu pour nous intéresser à la question « combien y a-t-il de passagers dans un car ? » C'est facile pour un ensemble fini. On fait défiler les passagers à la montée ou à la sortie, en récitant 1, 2, 3, 4, … et on s'arrête au dernier passager : « Aujourd'hui 63 passagers, très bien, on utilisera quelques strapontins. »
Les enfants comprennent très vite qu'on peut compter sans s'arrêter indéfiniment (Sauf lassitude bien compréhensible) : voilà le premier ensemble infini facile à concevoir : ℕ ou ensemble des entiers naturels⁽³⁾.

Mais les notions, usuelles quand on compte, « plus que », « autant que », « moins que » sont-elles encore valables ?
Si 12 passagers descendent du car, il y en a effectivement moins qu'avant et si 15 nouveaux passagers veulent les remplacer, il y a effectivement plus et même trop pour la capacité maximale de 65 places assises.
Pour un ensemble infini, ça se complique : avoir « autant » d'éléments se définit par la possibilité d'associer un-à-un⁽⁴⁾ les éléments des deux ensembles à comparer, sans oublier personne et sans utiliser plusieurs fois un même élément : comme dans un bal, les filles et garçons vont former des couples sans laisser personne faire tapisserie.

Notre petite visite à l'hôtel Hilbert nous permet de dire que l'ensemble des entiers naturels, ℕ, a autant d'éléments que ℕ^*, c'est-à-dire que ℕ privé de 0 ; autant d'éléments que si on lui ajoute un nombre fini d'éléments, 5 clients supplémentaires ou un autre nombre ; que les nombres pairs sont aussi nombreux que les nombres impairs⁽⁵⁾, mais aussi nombreux que les entiers naturels eux-mêmes…

On appelle – lire aleph zéro – le cardinal⁽⁶⁾ de ℕ, c'est-à-dire le nombre d'éléments de ℕ : est donc un nombre « infini », l'infini du dénombrable, de tout ce qui peut se dénombrer comme ℕ.

Donc : .
On peut ajouter n'importe quel nombre n de nouveaux éléments à un ensemble dénombrable, l'ensemble obtenu est encore dénombrable.

Et aussi : .
L'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des multiples de n, nombre entier quelconque, l'ensemble ℕ × ℕ de tous les couples d'entiers naturels sont tous des ensembles dénombrables.
C'est-à-dire que nous allons numéroter tous les couples d'entiers naturels ! Ces couples étant disposés en prolongeant à l'infini à droite et en bas…

(0 ; 0) (0 ; 1) (0 ; 2) (0 ; 3) (0 ; 4) (0 ; 5)… (1 ; 0) (1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3) (1 ; 4)… (2 ; 0) (2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3)… (3 ; 0) (3 ; 1) (3 ; 2)… (4 ; 0) (4 ; 1)… (5 ; 0))… … .

On commence par le couple (0 ; 0)->0 de (1 ; 0)->1 la diagonale remonte à (0 ; 1)->2, de (2 ; 0)->3 on remonte à (1 ; 1)->4 (0 ; 2)->5 (3 ; 0)->6 (2 ; 1)->7 (1 ; 2)->8 (0 ; 3)->9 (4 ; 0)->10 (3 ; 1)->11 (2 ; 2)->12 (1 ; 3)->13 (0 ; 4)->14 (5 ; 0)->15 (4 ; 1)->16 (3 ; 2)->17 et toujours en remontant en diagonale…

Ne croyez pas tout savoir sur l'infini en si peu de mots !

En attendant la suite, que vous attendez avec impatience, une remarque encore : votre paquet de riz ne contient pas un nombre infini de grains… mais il faudrait être infiniment patient – et un peu fou ? – pour en compter le nombre exact. Ce qui est fini n'est pas forcément simple !

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1. ⁽¹⁾ ↑ Dans son livre One Two Three… Infinity (un, deux, trois, … l'infini) paru en 1947, le physicien George Gamow raconte que, selon Richard Courant, David Hilbert utilisait cet exemple pour illustrer ses conférences sur l'infini.
2. ⁽²⁾ ↑ L'ire des mots croisés, la colère… propre aux irascibles !
3. ⁽³⁾ ↑ On n'a pas cherché bien loin son nom ! c'est naturel, parce que ce sont les plus simples et ils sont utilisés couramment.
4. ⁽⁴⁾ ↑ On disait de façon univoque, on dit maintenant de façon bijective.
5. ⁽⁵⁾ ↑ On en convient facilement, comme ils se suivent.
6. ⁽⁶⁾ ↑ Vous vous souvenez des adjectifs ordinaux et cardinaux : les ordinaux ont la notion d'ordre (premier, deuxième, troisième… ) et les cardinaux s'en moquent (un, deux, trois, … ).

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