L'Hypothèse de Riemann est le Graal des mathématiciens depuis sa formulation en 1859 par Bernhard Riemann.
Qu'est ce qui peut donc entraîner un tel engouement de la part de la communauté mathématique ?
Et bien ce sont ses mystérieux liens avec la répartition apparemment chaotique des nombres premiers.

On introduit la fonction pi de « décompte des nombres premiers » définie par :
\(\pi(x)=\) quantité de nombres premiers inférieurs à x, x appartenant à \(\mathbb{N}\).

On peut approcher cette fonction par de nombreuses fonctions (dont le logarithme intégral, ou la fonction R de Riemann).

Soit \(\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}\).
Cette fonction est ainsi définie pour \(s\) complexe de partie réelle supérieure à 1, mais peut être étendue (prolongée analytiquement) à tout le plan complexe privé de 1.

La conjecture de Riemann est que cette fonction ne s'annule, en dehors des entiers pairs, que sur la droite complexe des nombres de partie réelle égale à 1/2.
Tout l'interêt de la véracité de cette hypothèse est qu'alors, le terme correctif d'incertitude des approximations de \(\pi(x)\) sera connu avec précision, et le nombre de nombres premiers inférieurs à un entier donné sera donc beaucoup mieux connu.