Aujourd'hui, nous apprenons à compter.
Prenons par exemple l'Euromillions : on doit cocher 5 numéros parmi 50 (l'ordre n'a aucune importance), puis deux étoiles parmi 11.

Combien de possibilités existe-t-il ? Il s'agit là d'une branche spéciale des mathématiques, nommée « combinatoire ».

Prenons un cas plus simple pour expliquer. On a cinq boules numérotées de 1 à 5.
Première question : de combien de façons différentes puis-je en choisir une seule ? Facile : 5 ! Soit je prends la boule 1, soit la boule 2, soit la boule 3, soit la boule 4, soit la boule 5.
Seconde question : de combien de façons différentes puis-je en choisir deux ? Plus compliquée. Je peux choisir 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 1 et 5. Attention ensuite, il y a une petite subtilité : je ne peux pas choisir 2 et 1, car c'est la même combinaison qu'1 et 2. Il faut donc compter 2 et 3, 2 et 4, 2 et 5, puis 3 et 4 ; 3 et 5 et enfin 4 et 5. Soit un total de \(4 + 3 + 2 + 1 ⁼ 10\) combinaisons.
Et pour trois boules ? la question devient compliquée à calculer à la main.

Les mathématiciens ont inventé un outil pour travailler facilement avec ces questions : les combinaisons, qui se notent de façon barbare \({n \choose k}\). \(n\) représente le nombre total d'éléments, et \(k\) le nombre à choisir. Pour reprendre nos exemples précédents, on notera donc \({5 \choose 1}\) pour le choix d'une boule parmi 5 et \({5 \choose 3}\) le choix de trois boules dans les 5.

Et ça ne s'arrête pas là ! On apprend en terminale une formule permettant de calculer rapidement la valeur de ces combinaisons, sans les énumérer à la main. La démonstration, bien que sans complexité, n'est pas vraiment élégante, et je me contenterai donc sur ce site de donner la formule \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Petit rappel : le \(!\) indique la factorielle, soit le produit de tous les nombres inférieurs. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).
Appliquons la formule pour « deux boules parmi cinq » : \({5 \choose 2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10\). On retrouve bien le résultat lentement calculé à la main !

Il est maintenant temps de revenir au sujet initial : combien de possibilités existe-t-il à l'Euromillions et, par extension, quelle est la probabilité de gagner le jackpot ?

On doit donc cocher 5 numéros parmi 50 : \({50 \choose 5} = 2 118 760\).
Ensuite, sélectionner 2 étoiles parmi 11 : \({11 \choose 2} = 55\).
Le gain du jackpot nécessite d'avoir à la fois les étoiles et les numéros ; en combinatoire cela correspond à une multiplication : \({50 \choose 5} \times {11 \choose 2} = 2 118 760 \times 55 = 116 531 800\).
Il ne vous reste plus qu'à consulter le résultat à l'Euromillions, qui est disponible en ligne. Qui sait ? Vous serez peut-être l'heureux gagnant… Dans ce cas, sachez que j'accepte les donations par chèque !