Les mots mathématiques sont parfois des mots spécialement créés pour l'activité du mathématicien et le jargon(1) obtenu rebute les non-initiés. Mais souvent, on utilise aussi des mots d'usage courant… dans un usage précis, restreint et trompeur pour le non-initié.
C'est pourquoi on commence toujours en mathématiques par les définitions ! Mais hélas ! ces définitions peuvent paraître d'autant plus compliquées que les notions à définir sont plus simples…
Et j'en entends déjà qui marmonnent : « les maths, faut pas chercher à comprendre ! »
Ben si, justement !

  • Une courbe ? on imaginera que c'est la trace du crayon sur la feuille ou un fil très fin : on peut seulement avancer ou reculer sur une courbe, c'est un espace de dimension 1. Si on imagine un fil tendu, on pourra dire qu'une droite est une courbe… particulière.
  • Une surface ? on imaginera sur un album d'enfant l'espace à colorier ou un voile très fin : on peut s'y mouvoir davantage dans cet espace de dimension 2.
  • Un volume ? on imaginera un récipient à remplir et nous nous arrêterons à cet espace de dimension 3(2).

Voyons si vous suivez : sur une balle de tennis, le dessin blanc que forme le raccord des deux moitiés de balle est grossièrement une courbe, que vous pouvez suivre avec votre doigt ; le tissu pelucheux jaune fluo se répartit en deux surfaces, l'ensemble des deux forme grossièrement une sphère ; l'intérieur de la balle remplie d'air sous pression est un volume qui correspond assez bien à ce qu'on appelle une boule…

Passons à autre chose.

Entre deux points très proches d'une courbe, on peut imaginer que la courbe est presque droite.

Intuitivement, si on prend un point M initialement en B et qu'on l'approche de A, on peut imaginer que la courbe est presque une droite(3), et même obtenir la droite « tangente » à la courbe en A.

La tangente à la courbe au point A.

Si maintenant on veut mesurer ou calculer(4) la longueur d'une portion de courbe, on peut imaginer une ligne brisée qui colle au mieux à la courbe(5)… une infinité de segments infiniment petits.

Plus on augmente le nombre de points, plus la ligne brisée épouse la courbe…

Si on veut calculer l'aire de la surface comprise entre la portion de courbe et l'axe du repère, on peut imaginer d'utiliser cette ligne brisée pour approcher cette surface… une infinité de trapèzes de largeur infiniment petite. On peut aussi utiliser des rectangles pour un calcul plus simple(6).

Plus on augmente le nombre de points, plus les rectangles recouvrent la surface avec précision.

Bien sûr, les mathématiciens définiront avec précision les conditions de ce processus(7)
Mais nous pouvons tout de même apprécier la finesse de l'analyse : si vous utilisez ce processus avec des rectangles un peu trop petits, vous trouverez une valeur approchée par défaut(8), et si vous utilisez ce processus avec des rectangles un peu trop grands, vous trouverez une valeur approchée par excès(9).

Des rectangles en dessous de la courbe vont approcher l'aire par défaut.
Des rectangles en dessus de la courbe vont approcher l'aire par excès.

Ainsi, vous obtiendrez un encadrement de l'aire(10) que vous cherchez : ne pas connaître une valeur exacte n'est pas très grave dans ce cas.

Et si vous voulez calculer un volume, vous couperez le volume en fines rondelles, comme la Rosette de Lyon(11). Faites les tranches fines et nombreuses, c'est meilleur !

Œuf dur en rondelles.

Les mathématiciens dissimulés dans les lecteurs s'amuseront probablement de constater qu'une telle étude a priori de l'analyse rejoigne le procédé quasi algébrique des dérivations et primitives des polynômes.


  1. (1) Un jargon est un langage propre à un groupe social ou à un métier, par exemple le jargon médical ou le jargon informatique : les personnes extérieures à ce groupe traduisent « langage incompréhensible ».
  2. (2) Pour la 4ème dimension (ou plus), il n'y a aucun souci en maths, mais notre imagination nous abandonne.
  3. (3) On peut se servir de ce presque pour trouver une valeur intermédiaire par une « interpolation linéaire ». Faire une extrapolation, c'est imaginer le prolongement d'une courbe pour trouver une valeur au-delà des valeurs connues. C'est beaucoup plus risqué !
  4. (4) Mesurer peut être une action concrète : poser un fil sur la portion de courbe, puis le mesurer en le tendant. Calculer suppose des connaissances concernant la courbe et votre science mathématique.
  5. (5) C'est le principe du curvimètre : petite roue dentée qu'on promène sur la courbe, pendant qu'un petit filetage entraîne la roue devant une graduation. Il existe d'autres modèles.
  6. (6) Ce procédé permet de connaître une valeur approchée, la précision dépend de vous. Calculer suppose des connaissances concernant la courbe et votre science mathématique.
  7. (7) Ils vous proposeront un cours d'analyse, un cours d'intégration, pas en une heure, en une ou deux années.
  8. (8) Un peu plus petite. Il en manque de moins en moins… Ce qui manque fait défaut.
  9. (9) Un peu plus grande. Et ça dépasse de moins en moins.
  10. (10) L'aire est comprise entre deux valeurs connues.
  11. (11) Ce procédé permet encore de connaître une valeur approchée, la précision dépendant de vous. Vous pouvez aussi mesurer un volume solide, mais non soluble, en le trempant dans l'eau : dans un récipient assez grand et plein à ras bord, vous recueillez l'eau qui déborde et la masse de cette eau vous fournira le volume de l'objet qui a chassé cette eau.