
2009, 2010, 2011, 2012… les années se suivent et ne se ressemblent pas ?
Quelles sont les propriétés mathématiques de 2009, 2010, 2011 et 2012 ?
Que dire d'une nouvelle année ? qu'elle vous soit douce et légère comme dit la chanson bien sûr !
Mais aussi… peut-on écrire ces nombres comme des sommes ? trop facile…
Comme des produits ?
2010
Commençons par le plus simple !
2010 est bien sûr divisible par 10, donc par 2 et par 5, donc
\(2 010 = 2 \times 5 \times 201\) et 201 ? il est bien sûr divisible par 3 !
\(201 = 3 \times 67\) donc
\(2 010 = 2 \times3 \times 5 \times 67\) et 67 ?
peut-on écrire 67 comme un produit ?
À ce stade, rappelons qu'un nombre premier est un nombre entier naturel qui n'a pas de diviseur propre, c'est-à-dire qui n'est divisible que par 1 et lui-même.
Reprenons donc \(2 010 = 2 \times3 \times 5 \times 67\).
67 n'est évidemment- ni divisible par 2, à cause du chiffre des unités 7 impair
- ni divisible par 3, à cause de la somme de ses chiffres \(6 + 7 = 13\) qui ne l'est pas
- ni divisible par 5, à cause du chiffre des unités 7 qui n'est ni 0 ni 5.
- 67 n'est pas divisible par 7, on connaît la table des 7.
Doit-on continuer à tester 67 ? Inutile, le nombre premier suivant est 11 et le quotient éventuel est un nombre plus petit que 7 donc déjà testé.
Donc 67 est premier.
Donc \(2 010 = 2 \times3 \times 5 \times 67\) et est le produit de quatre nombres premiers.2012
Encore assez simple…
\(2 012 = 2 \times 1 006 = 2 \times 2 \times 503\) et 503 ?
Nous testons les divisions par 7, par 11, 13, 17, 19 et par 23 et nous nous arrêtons là ! Le dernier quotient est plus petit que 23, donc déjà testé.
Donc 503 est un nombre premier.
Donc \(2 012 = 2 \times 1 006 = 2 \times 2 \times 503 =2^2 \times 503\) encore un produit de nombres premiers.
Au passage, 2012 sera une année bissextile, avec un 29 février 2012…2009
Rien de simple en vue ? Mais si ! le premier test est bon : 7 est un diviseur…
\(2 009 = 7 \times 287\) et 287 ? Simple à voir, 7 encore : \(280 + 7\).
\(2 009 = 7 \times 7 \times 41\). et 41 ? 41 n'est pas divisible par 7 et c'est inutile de continuer, 41 est donc premier.
Donc \(2009 = 7 \times 7 \times 41 = 7^2 \times 41\), encore un produit de nombres premiers – comme tous les entiers naturels d'ailleurs !2011
Rien de simple en vue ? On est courageux…
On a vérifié d'un coup d'œil que 2011 n'est divisible ni par 2 ni par 5, à cause du chiffre des unités, ni par 3 à cause de la somme des chiffres \(2 + 0 + 1 + 1 = 4\) qui ne l'est pas.
On teste la division par 7, par 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Ouf !
Chou blanc sur toute la ligne, toujours un reste non nul ! « les divisions ne tombent pas juste », mais les quotients diminuent heureusement… et nous sommes tout fiers d'annoncer : 2011 est un nombre premier !
Qu'une année soit bissextile, c'est utile à savoir bien sûr !
Que 2011 soit un nombre premier, c'est juste pour faire les malins…