C'est la rentrée, les petits écoliers ont une belle panoplie toute neuve : règle, équerres et rapporteur… C'est quoi ce truc en demi-cercle (ou en disque complet) plein de petits traits ? Un rapporteur mon petit, tu verras quand tu seras plus grand… Le petit demande : à quoi ça sert ? Et lâchement, vous répondez illico : tu verras à l'école !
La notion d'angle donne déjà la migraine à certains, mais tout le monde comprend l'utilité de viser correctement, de partir dans la bonne direction ou de couper la bonne part de pizza (pour les gourmands) ! Donc même sans définition de l'angle, on aimerait les mesurer précisément.
Mesurer les angles, oui mais en quelle unité ? Il y a le choix : le degré le plus connu, le grade presque oublié, le radian pour les très calés et le tour bien simple que je vous garde pour la fin !

Le degré ! le mot n'évoque pas plus qu'un trait de graduation ou d'une échelle : la température se mesure en degrés Celsius ou Kelvin, les marches de l'escalier sont parfois désignées noblement ainsi, la qualification moniteur 1er degré ou 2nd degré… Alors pour les angles ?
C'est alors que nous partons pour Babylone au temps ancien : entre le Tigre et l'Euphrate(1), on s'intéresse beaucoup à l'astronomie et donc aux angles. On mesure à la mode de l'époque en base 60 ; je compte, comme vous \(1, 2 \ldots 59\) et je dis une soixantaine, je continue, une soixantaine et 1, une soixantaine et 2… , deux soixantaines, deux soixantaine et 1, … , dix soixantaines, … jusqu'à soixante soixantaine, le mot me manque…
Ils sont fous les Babyloniens ? peuh ! vous faites bien pareil avec vos heures, minutes et secondes.
Choisir l'angle unité ? Un bel angle ? un beau triangle ? mais c'est bien sûr ! le triangle équilatéral a dû sacrément leur plaire avec ses trois angles égaux… l'angle de ce triangle(2) sera une unité.
Comme on fait des paquets de soixante, on coupera les cheveux(3) en soixante, et les morceaux en soixante…
Résumons nous : l'angle du triangle équilatéral(4) vaudra la superbe unité – dont nous avons oublié le nom – ou 60 degrés ou 3 600 (\(60 \times 60\)) minutes d'angle ou 216 000 (\(60 \times 60 \times 60\)) secondes !
L'angle plat suivra gentiment avec ses 180 degrés, l'angle droit s'arrangera avec ses 90 degrés… Et un tour complet bien entendu 360 degrés.
Chouette système ? En tout cas, on s'en sert encore !

Oui, tout le monde a l'habitude, mais au moment de la grande révolution française, on essaie de trouver des unités universelles, bien décimales, car depuis longtemps, on a adopté notre base 10 si pratique(5), alors quand on se veut décimal et universel, on voit d'un œil plutôt méprisant ces 180 et 90… barbares ! On a trouvé le mètre(6), on va prendre le système décimal – finies les douzaines par exemple ! }…
Pas de souci pour le nouveau nom, le grade a quasiment le même sens très général que degré. Il faut donc choisir l'angle unité… Entre temps, le triangle équilatéral, on s'en moque un peu, alors le beau, le superbe angle droit a droit à la place d'honneur !
Pour l'angle droit 100 grades, l'angle plat 200 grades, le tour complet 400 grades… C'est mieux comme ça, non ?
Oui ! oui… mais le pauvre oublié, le triangle équilatéral ? Aïe ! aïe ! aïe ! la division ne « tombe » pas juste, ça ne fait pas sérieux…
Les parents et grands-parents ont eu droit d'utiliser le rapporteur à double graduation en grade et en degré(7), mais les enfants actuels l'ignorent aujourd'hui complètement… Comme quoi, vouloir bien faire n'est pas si facile !

Le temps passe, les modes changent ou bien les degrés continuent d'agacer ?
On(8) on se dit que dans un cercle, l'angle au centre(9) découpe un arc de cercle, on peut mesurer la longueur de cet arc…
Si le cercle est grand, l'arc est grand aussi ? pas de problème ! on va mesurer le rayon et l'arc dans la même unité et ce rayon sera justement d'une unité…
On a appris que la longueur de la circonférence complète se calcule… avec un incontournable zigoteau pénible \(\pi\) !
\(L = 2 \pi R\) la longueur de la circonférence est égale à 2 fois pi fois le rayon(10).
Et si le rayon est 1, la longueur totale du cercle est \(2\pi\) donc pour un tour complet ! Alors, la longueur d'un demi-cercle est \(\pi\) donc pour un angle plat…
Pour un quart de cercle \(\frac{\pi}{2}\), voilà l'angle droit ! et l'angle du triangle équilatéral ? \(\frac{\pi}{3}\)…
L'unité s'appelle alors le radian ! C'est simple ? oui et non ! Non pour la vie de tous les jours : \(\pi\) est déjà un sacré zigoteau, alors pensez.. des fractions de zigoteau ! Oui quand même… si comme les mathématiciens, on appelle \(\pi\) par son petit nom, pi tout simplement, comme le fameux « petit x » l'inconnu…
Mais vous pouvez avoir un autre avis !

Alors ? qu'est-ce qu'il y a de plus simple ? parce que là ! les degrés paraîtraient plutôt sympathiques avec l'habitude ! Eh bien, vous connaissez tous ! Faites un tour mademoiselle, un demi-tour monsieur, un quart de tour vous aussi… voilà bien l'angle de 360°, l'angle plat de 180° et l'angle droit de 90° bien connu ! C'est un peu sommaire, ça manque de finesse ? oui, bah ! on en a pour sa peine ! et ça suffit souvent… Pour les marins au long court, essayez peut-être la rose des vents : Nord-Nord-Est… à toutes voiles, je m'en vais vous laisser vous reposer !


  1. (1) L'œuf rate ? non !
  2. (2) facile à reproduire au compas
  3. (3) en quatre ? non ! trop simple.
  4. (4) Quelle taille ? on s'en moque ! ils ont tous les mêmes angles
  5. (5) Pourquoi croyez-vous qu'on a dix doigts ! hein ? , bon d'accord ! certains ont préféré les cinq doigts d'une seule main en base 5 comme les mayas, tandis que d'autres ont compté avec les orteils en base 20 ! vous connaissez bien quatre-vingts ? si si ! 80 ou \(4 \times 20\) et le Quinze-vingts ?
  6. (6) Dix millionièmes du quart de la circonférence terrestre, il n'y a pas plus universel que notre planète terre !
  7. (7) On n'osait pas s'en débarrasser, trop pratique !
  8. (8) Des mathématiciens, je présume ou des physiciens alors.
  9. (9) Le sommet de l'angle est le centre du cercle.
  10. (10) « deux pîerres »