Aujourd'hui, nous allons discuter de l'énigme du partage d'or. L'énoncé est le suivant :

Il était une fois 5 rusés pirates qui ont mis la main sur un trésor de 100 pièces d'or et discutent de son partage. Étant d'âges et d'expériences différents, ils décident unanimement de procéder ainsi.
Le plus vieux propose un partage et le soumet au vote du groupe. S'il y a majorité absolue de contre, en comptant son vote, les autres pirates lavent l'affront en le passant par la planche et recommencent le partage sans lui. La question est : quel est le partage final ?

Bien entendu, il y a un certain nombre d'hypothèses raisonnables. On considère que les pirates sont tous éminemment intelligents et logiques, qu'ils sont cupides(1) et que la vie des autres pirates n'a aucune espèce d'importance devant la moindre espèce sonnante ou trébuchante.

Dans ces conditions, avez-vous une petite idée du partage ?

Est-ce qu'un partage équitable fonctionne ? Oui effectivement. Avec un partage équitable de 20 pièces chacun, le vieux loup s'assure la vie sauve. Mais un vieux loup qui a écumé les sept mers peut sûrement faire un peu mieux. Eh bien figurez-vous que le petit vieux ne manque pas d'audace puisqu'il s'accorde pas moins de 98 pièces sur les 100 ! Mais comment est-il parvenu à cet équilibre plutôt déséquilibré ?

Pour comprendre, le plus simple est de procéder par récurrence. C'est-à-dire qu'on va partir d'un nombre réduit de pirates pour ensuite en déduire le partage lorsqu'ils sont plus nombreux. On va nommer les pirates par leur numéro, no1 étant le plus vieux, le premier à parler. N°2 est le suivant et ainsi de suite. Maintenant que les bases sont posées, raisonnons.

S'il n'y a qu'un seul pirate, il prend toutes les pièces évidemment. S'ils sont 2, le vote positif de no1 (son propre vote) lui assure la survie puisque le contre doit obtenir la majorité absolue. Il peut donc également s'accorder l'intégralité du magot. Le vote du no2 n'a pas d'importance, qu'il vote pour ou contre.

Compliquons maintenant avec 3 pirates. Cette fois, les 2 cadets peuvent se liguer contre no1 pour le tuer. Il doit alors faire preuve de diplomatie pour en rallier au moins un à sa cause. N°2, s'il parvient à tuer son aîné, se retrouve l'aîné de la situation précédente et récupère l'ensemble du trésor. N°1 peut difficilement trouver de l'aide de ce côté là. C'est donc no3 qu'il va acheter, mais à combien ? Sachant que si no1 meurt, no3 n'obtient rien, il lui suffit d'une pièce pour améliorer sa situation. Et si malgré les largesses de no1, no3 se prenait à voter contre, cette pièce lui serait retirée par no2. N°3 vote donc pour et no1 s'en tire vivant avec 99 pièces !

Vous commencez à saisir l'idée ? Faisons encore une étape : nous avons maintenant quatre pirates. Comme précédemment, le sous-chef no2 est presque inachetable vu qu'il s'attend à obtenir 99 pièces. Par contre, no1 peut tirer profit de la mauvaise situation de no3 qui n'obtient rien avec le partage à trois. N°3 vote donc pour avec une simple pièce tandis que no1 s'en tire également avec 99 pièces.

Vous devriez maintenant avoir compris le principe, l'aîné donne une pièce pour un pirate sur deux en commençant par ne rien donner à son sous-chef. Le partage à 5 est comme suit : 1 pièce pour no5 et no3, 98 pour no1.

Et voila pour cette énigme qui n'est pas facile parce que la solution, le partage, est également utilisée comme mesure pour définir si le partage est valide. Il est donc aisé de trouver des partages qui fonctionnent, comme le partage équitable, mais il est plus dur de prouver que c'est le plus efficace. Le raisonnement par récurrence permet heureusement d'arriver assez facilement à la solution en peu d'étapes(2).

Cette énigme nous aura donc montré la logique de la domination du chef sur les faibles. Tiens tiens… En êtes-vous si sûr ? Que se passe-t-il à votre avis quand le nombre de pirates dépasse 200 ? À 201, l'aîné ne peut plus s'accorder une seule petite pièce car l'ensemble des 100 pièces servent à lui acheter sa place sur le bateau auprès des petits jeunes. Et c'est ainsi pour tous les nombres supérieurs de pirates, la moitié des 200 jeunots obtient sa part alors que tous les vieux qui ont pris les dures décisions pour récupérer le trésor se retrouvent avec des cacahouètes. Finalement, on est plutôt devant l'exemple de la domination du peuple, non ?

  1. (1) ↑ Ce sont des pirates quand même !
  2. (2) ↑ En tout cas, on y arrive en moins d'étapes que lorsqu'on tente de retirer les pièces une par une aux cadets à partir du partage équitable !