Voilà une mésaventure qui vous est forcément déjà arrivée : en tranchant la galette (ou la brioche, ne faisons pas de ségrégation), le couteau entre en contact avec la fève, ruinant ainsi le suspense que vous aviez insidieusement instillé chez vos invités.

Diantre, pensez-vous ! Quelle était donc la probabilité de cette catastrophe ? La réponse, comme vous vous en doutez, dépend de plusieurs facteurs :

  • d : la distance entre la fève et le centre de la galette. Évidemment, plus d est grand, mieux c'est : si la fève est au centre de la galette – i.e. d=0 – le couteau tombera forcément dessus (à moins que vous ne découpiez d'une façon très artistique, auquel cas la science ne peut plus rien pour vous) ;
  • N : le nombre de convives. Si vous êtes tout seul (et gourmand), vous n'aurez pas à couper et la probabilité sera alors nulle(1) ; si vous êtes 80, le couteau aura plus de chances (au sens mathématique) de rencontrer la fève ;
  • n : le nombre de coups de couteau à donner pour couper la galette en N parts égales (pour deux convives, il suffit d'un coup de couteau ; pour quatre convives il en faut deux ; et pour huit il en faudra quatre) ;
  • Gr : le rayon de la galette. Logiquement, d < Gr, sinon changez de pâtissier ;
  • FL la longueur de la fève et Fl sa largeur. Pour simplifier les calculs, on va prendre le pire cas (la fève est étalée dans sa longueur) et nous ne nous servirons donc pas de Fl.

Au final, seules trois variables nous intéressent(2) : d, n et FL.

Première étape : calculer la probabilité de toucher la fève pour un coup de couteau. Comme je le disais plus haut, on considère que la fève est orientée selon la tangente, et a une longueur FL ; le périmètre de galette sur le même rayon est alors 2π × d. La probabilité de tomber sur la fève est comme toujours le nombre de cas « favorables » (toujours au sens mathématique) sur le nombre total de cas. Attention, il y a une petite subtilité : la fève peut être des deux côtés de la galette, couper selon le diamètre revient donc à couper deux fois selon le rayon : p  = 2\frac{F_L}{2\pi \times d} = \frac{F_L}{d\pi}.

Prochaine étape : répéter l'expérience n fois. On peut considérer chacun des coups comme indépendants(3) : les mathématiciens nous informent alors qu'il faut utiliser une loi binomiale (vous vous en doutez, répéter n fois une expérience ne revient pas à ajouter la probabilité de l'événement n fois(4)). L'application bête et méchante de la formule donne alors P(x=0) = {n \choose 0} p^0 (1-p)^{n-0} = (1-p)^n ; le 0 vient de l'idée que l'on ne veut aucun coup de couteau sur la fève (donc aucun succès dans l'échec, vous me suivez ?).

Petit résumé pour ceux qui ont lâché (tenez bon, c'est presque fini !) : la probabilité de ne pas tomber sur la fève est P = (1-\frac{F_L}{d\pi})^n.

Dernière étape, la plus intéressante : effectuer le calcul ! Prenons une galette standard (Gr=15cm), plaçons la fève aux deux tiers du rayon (d=\frac{2}{3}G_r=10cm), une fève de dimension convenable (FL=2cm) et huit invités (N=8 et n=4).
Fin de l'abstraction mathématique, voilà sans plus tarder le résultat : P = (1-\frac{2}{10\pi})^4 = 0.77. Ce qui correspond à peu près à une « chance » sur quatre de trancher la fève… et ce sans compter sur l'intervention de Murphy !


  1. (1) A fortiori, vous serez également sûr d'être le roi. Bilan : mangez vos galettes tout seul.
  2. (2) En effet, n et N sont reliés par une simple relation de proportionnalité et la taille de la galette n'influe pas sur la probabilité de toucher la fève à n et d fixés.
  3. (3) En réalité, l'écart entre deux coups est le même : pour quatre invités, vous allez décaler votre coupe de 90°. Cependant, la fève ne se déplace pas, ce qui revient à des tranches « au hasard ».
  4. (4) Petite preuve rapide : vous lancez une pièce deux fois. Même si la probabilité de faire pile à chaque fois est de 0.5, ce n'est pas parce que vous effectuerez 2 lancers que vous serez sûr de faire au moins un pile.