Que dire d'une nouvelle année ? qu'elle vous soit douce et légère comme dit la chanson bien sûr !
Mais aussi… peut-on écrire ces nombres comme des sommes ? trop facile…
Comme des produits ?

• 2010
  Commençons par le plus simple !
  2010 est bien sûr divisible par 10, donc par 2 et par 5, donc
  \(2 010 = 2 \times 5 \times 201\) et 201 ? il est bien sûr divisible par 3 !
  \(201 = 3 \times 67\) donc
  \(2 010 = 2 \times3 \times 5 \times 67\) et 67 ?
  peut-on écrire 67 comme un produit ?
  À ce stade, rappelons qu'un nombre premier est un nombre entier naturel qui n'a pas de diviseur propre, c'est-à-dire qui n'est divisible que par 1 et lui-même.
  Reprenons donc \(2 010 = 2 \times3 \times 5 \times 67\).
  67 n'est évidemment

  • ni divisible par 2, à cause du chiffre des unités 7 impair
  • ni divisible par 3, à cause de la somme de ses chiffres \(6 + 7 = 13\) qui ne l'est pas
  • ni divisible par 5, à cause du chiffre des unités 7 qui n'est ni 0 ni 5.
  • 67 n'est pas divisible par 7, on connaît la table des 7.

  Doit-on continuer à tester 67 ? Inutile, le nombre premier suivant est 11 et le quotient éventuel est un nombre plus petit que 7 donc déjà testé.
  Donc 67 est premier.
  Donc \(2 010 = 2 \times3 \times 5 \times 67\) et est le produit de quatre nombres premiers.

• 2012
  Encore assez simple…
  \(2 012 = 2 \times 1 006 = 2 \times 2 \times 503\) et 503 ?
  Nous testons les divisions par 7, par 11, 13, 17, 19 et par 23 et nous nous arrêtons là ! Le dernier quotient est plus petit que 23, donc déjà testé.
  Donc 503 est un nombre premier.
  Donc \(2 012 = 2 \times 1 006 = 2 \times 2 \times 503 =2^2 \times 503\) encore un produit de nombres premiers.
  Au passage, 2012 sera une année bissextile, avec un 29 février 2012…

• 2009
  Rien de simple en vue ? Mais si ! le premier test est bon : 7 est un diviseur…
  \(2 009 = 7 \times 287\) et 287 ? Simple à voir, 7 encore : \(280 + 7\).
  \(2 009 = 7 \times 7 \times 41\). et 41 ? 41 n'est pas divisible par 7 et c'est inutile de continuer, 41 est donc premier.
  Donc \(2009 = 7 \times 7 \times 41 = 7^2 \times 41\), encore un produit de nombres premiers – comme tous les entiers naturels d'ailleurs !

• 2011
  Rien de simple en vue ? On est courageux…
  On a vérifié d'un coup d'œil que 2011 n'est divisible ni par 2 ni par 5, à cause du chiffre des unités, ni par 3 à cause de la somme des chiffres \(2 + 0 + 1 + 1 = 4\) qui ne l'est pas.
  On teste la division par 7, par 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Ouf !
  Chou blanc sur toute la ligne, toujours un reste non nul ! « les divisions ne tombent pas juste », mais les quotients diminuent heureusement… et nous sommes tout fiers d'annoncer : 2011 est un nombre premier !

Qu'une année soit bissextile, c'est utile à savoir bien sûr !
Que 2011 soit un nombre premier, c'est juste pour faire les malins…